Un planeta tarda 200 días en dar una vuelta al sol, calcula a que distancia se encuentra de este
Respuestas
Respuesta:
La palabra este te refieres a lo de norte sur este y todo eso o a que te refieres
Respuesta:
Ejercicios resueltos
Bolet´ın 1
Leyes de Kepler y Ley de gravitaci´on universal
Ejercicio 1
Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor.
El planeta 1 describe una ´orbita circular de radio r1 = 108 km con un periodo de rotaci´on
T1 = 2 a˜nos, mientras que el planeta 2 describe una ´orbita el´ıptica cuya distancia m´as
pr´oxima es r1 = 108 km y la m´as alejada es r2 = 1,8 · 108 km tal y como muestra la figura.
¿Cu´al es el periodo de rotaci´on del planeta 2?
Soluci´on 1
Para un objeto que recorre una ´orbita el´ıptica su distancia media al astro central
coincide con el valor del semieje mayor de la elipse.
De la figura adjunta se deduce que la distancia media del planeta 2 a la estrella es:
r =
r1 + r2
2
=
108 + 1,8 · 108
2
= 1,4 · 108
km
Aplicando la tercera ley de Kepler:
T
2
1
r
3
1
=
T
2
2
r
3
Y sustituyendo:
2
2
(108
)
3
=
T
2
2
(1,4 · 108
)
3
Despejando el periodo de rotaci´on del planeta 2 es: T2 = 3,3 a˜nos.
Ejercicio 2
Calcula la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una ´orbita circular de
150 millones de kil´ometros de radio.
Soluci´on 2
Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de traslaci´on de la Tierra, se
cumple que:
F = mT · aN
G ·
mS · mT
r
2
= mT ·
v
2
r
G ·
mS
r
= v
2
Sustituyendo la velocidad de la Tierra por su relaci´on con el periodo de traslaci´on, se
tiene:
G ·
mS
r
=
4 · π
2
· r
2
T
2
mS =
4 · π
2
G
·
r
3
T
2
El periodo es (tomando el a˜no como 365,25 d´ıas): T = 3,156 · 107
s
Sustituyendo:
mS =
4 · π
2
6,67 · 10−11 ·
(150 · 109
)
3
(3,156 · 107
)
2
= 2,01 · 1030km
Ejercicio 3
La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tierra y su radio es 1/4 del radio de la
Tierra. Calcula lo que pesar´a en la superficie de la Luna una persona que tiene una masa
de 70 kg.
Soluci´on 3
Aplicando la ley de gravitaci´on universal en la superficie de la Luna, se tiene:
PL = G ·
mL · m
R2
L
= G ·
(mT /81) · m
(RT /4)2
=
16
81
·
G · mT
R2
T
· m =
16
81
· g0,T · m
Sustituyendo:
PL =
16
81
· 9,8 · 70 = 135,5N
Ejercicio 4
Expresa en funci´on del radio de la Tierra, a qu´e distancia de la misma un objeto que
tiene una masa de 1 kg pesar´a 1 N.
2
Soluci´on 4
Aplicando la ley de gravitaci´on universal:
P = FT,obj = G ·
mT · m
r
2
r =
s
G · mT · m
P
Aplicando la relaci´on:
g0 = G ·
mT
R2
T
G · mT = g0 · R2
T
, se tiene:
r =
r
g0 · R2
T
·
m
P
= RT ·
s
9,8 · 1
1
= 3,13 · RT
Ejercicio 5
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol, despreciando el
movimiento de rotaci´on de la Tierra sobre s´ı misma y considerando a la ´orbita de la Tierra
como circular. Datos: MT = 6 · 1024 kg; rorbita ´ = 1,5 · 108 km
Soluci´on 5
La velocidad de traslaci´on de la Tierra alrededor del Sol es:
v =
2 · π · r
t
=
2 · π · 1,5 · 108
365 · 24 · 3600
= 30 km/s
Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la ´orbita de
la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posici´on y el vector velocidad
de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares. Por tanto, el momento angular
de la Tierra respecto del Sol es un vector perpendicular al plano de la ´orbita del planeta,
cuyo m´odulo es:
|L~ | = |~r × m · ~v| = r · m · v · sin 90◦ = 1,5 · 1011
· 6 · 1024
· 3 · 104 = 2,7 · 1040 kg· m
2
/ s
Ejercicio 6
La Tierra en su perihelio est´a a una distancia de 147 millones de kil´ometros del Sol y
lleva una velocidad de 30,3 km/s. ¿Cu´al es la velocidad de la Tierra en su afelio, si dista
152 millones de kil´ometros del Sol?
Soluci´on 6
La direcci´on de la fuerza con la que act´ua el Sol sobre la Tierra coincide con la direcci´on
del vector de posici´on de la Tierra respecto del Sol, por lo que el momento angular de la
Tierra respecto del Sol permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.
L~
perihelio = L~
afelio
3
Aplicando la definici´on de momento angular y como el vector de posici´on es perpendicular
a la velocidad, se tiene:
~rp × m · ~vp = ~ra × m · ~va
rp · vp = ra · va
Sustituyendo:
147 · 106
· 30,3 = 152 · 106
· va
va = 29,3 km/s
Ejercicio 7
Calcula el periodo de la estaci´on espacial internacional (ISS), sabiendo que gira en una
´orbita situada a una distancia media de 400 km sobre la superficie de la Tierra. Datos:
RT = 6370 km; g0 = 9,8 m/s2
Soluci´on 7
El radio de la ´orbita es: r = RT + 400 km = 6370 · 103 + 400 · 103 = 6,77 · 106 m.
Aplicando la segunda ley de Newton y considerando la ´orbita circular, se tiene:
XF~ = mISS · ~aN
G ·
MT · mISS
r
2
= mISS ·
v
2
r
G ·
mT
r
= v
2 =
4 · π
2
· r
2
T
2
Despejando y como
g0 =
G · mT
Explicación: