Question

Dadas las siguientes progresiones (an) y teniendo en cuenta que para la progresión aritmética el enésimo termino está definido como an= a1+d*(n-1)
Y para la progresión geométrica este término está definido como an=a1*r-1
A partir del enésimo término calcular su término general.
a. (−4, −2, 0,2, 4, ... an)
b. (5, 25, 125, 625, … an)

Answer 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A) Y GEOMÉTRICAS (P.G)

Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión numérica, en la que cada término se obtiene sumando el anterior por una cantidad, llamada diferencia o razón.

Término enésimo - P.A

$\mathsf{a_{n} = a_{1} + d(n - 1)}$

Donde $a_{1}$ es el primer término, d es la diferencia (razón) y n es el número de términos.

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Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión numérica, en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad, llamada razón.

Término enésimo - P.G

$\mathsf{a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}}$

Donde $a_{1}$ es el primer término, r es la razón y n es el número de términos.

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Ejercicios

Primero, reconoceremos si es una progresión aritmética o geométrica, par después aplicar la fórmula correspondiente.

a. (−4, −2, 0, 2, 4, ... an)

     La progresión aumenta de 2 en 2. Es una progresión aritmética.

     Calculamos el término general:

     $\mathsf{a_{n} = a_{1} + d(n - 1)}$

     $\mathsf{a_{n} = -4 + 2(n - 1)}$

     $\mathsf{a_{n} = -4 + 2n - 2}$

     $\boxed{\mathsf{a_{n} = 2n - 6}}$

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b. (5, 25, 125, 625, … an)

     Si multiplicamos un término por 5, obtenemos el siguiente. Por ello, es una progresión geométrica.

     Calculamos el término general:

     $\mathsf{a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}}$

     $\mathsf{a_{n} = 5 \cdot 5^{n - 1}}$

     Por propiedad de potenciación:

     $\mathsf{a_{n} = 5^{1+ n- 1}}$

     $\boxed{\mathsf{a_{n} = 5^{n}}}$

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