Question

Verificar si f(x,y) es continua en P(0,0)
f(x,y)= (x^3+y^3)/(x^2+y^2) si x^2+y^2=diferente a cero y
f(x,y)= 0 si (x,y)=(0,0)

Answer 1

Lo único que tenemos que hallar es el límite siguiente
 
                                      $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}$

Si resulta 0 entonces diremos que la función $f$ es continua en el origen de coordenadas, caso contrario no lo será.

Notemos que $x^2+y^2\geq 2|xy|$ y por consiguiente se tiene

                     $\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{1}{2}$

Así podemos decir que
                           
                       $\left|1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq 1+\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{3}{2}$

que la función $h(x,y)=1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ es acotada. Antes debió notar esto
                           $\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=(x+y)\left(1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)$

Y además cuando $(x,y)\to(0,0)$ o mejor dicho cuando (x,y) está en un entorno pequeño de (0,0) la función lineal $j(x,y)=x+y$ se vuelve infinitesimal, por ende
   
                    $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=0$

Es decir que la función $f$ es continua en el origen de coordenadas