Verificar si f(x,y) es continua en P(0,0)
f(x,y)= (x^3+y^3)/(x^2+y^2) si x^2+y^2=diferente a cero y
f(x,y)= 0 si (x,y)=(0,0)
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Lo único que tenemos que hallar es el límite siguiente
![\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3%2By%5E3%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D)
Si resulta 0 entonces diremos que la función
es continua en el origen de coordenadas, caso contrario no lo será.
Notemos que
y por consiguiente se tiene
![\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{1}{2} \left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{1}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Bxy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cright%7C%5Cleq+%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D)
Así podemos decir que
![\left|1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq 1+\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{3}{2} \left|1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq 1+\left|\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right|\leq \dfrac{3}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%7C1-%5Cdfrac%7Bxy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cright%7C%5Cleq+1%2B%5Cleft%7C%5Cdfrac%7Bxy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cright%7C%5Cleq+%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D)
que la función
es acotada. Antes debió notar esto
![\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=(x+y)\left(1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right) \dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=(x+y)\left(1-\dfrac{xy}{x^2+y^2}\right)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdfrac%7Bx%5E3%2By%5E3%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D%28x%2By%29%5Cleft%281-%5Cdfrac%7Bxy%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%5Cright%29)
Y además cuando
o mejor dicho cuando (x,y) está en un entorno pequeño de (0,0) la función lineal
se vuelve infinitesimal, por ende
![\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=0 \lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7B%28x%2Cy%29%5Cto%280%2C0%29%7D%5Cdfrac%7Bx%5E3%2By%5E3%7D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%3D0)
Es decir que la función
es continua en el origen de coordenadas
Si resulta 0 entonces diremos que la función
Notemos que
Así podemos decir que
que la función
Y además cuando
Es decir que la función
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