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Respuesta:
Hallar la ecuación de lugar geométrico de los puntos P(x,y) P(x, y) cuya suma de distancias a los puntos fijosF_1(4,2) y F_2(-2,2) sea igual a 8
solución: Buscamos que la suma de las distancias \overline{PF_1} y \overline{PF_2} sea siempre igual a 8, es decir,
\displaystyle \overline{PF_1} + \overline{PF_2} = 8
Por lo tanto, tenemos que,
\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} + \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} = 8
Si despejamos una raíz, se obtiene
\displaystyle \sqrt{(x + 2)^2 + (y - 2)^2} = 8 - \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}
Luego, elevando al cuadrado, tenemos que
\displaystyle (x+2)^2 + (y-2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2 + (y - 2)^2
Observemos que el término (y-2)^{2} se encuentra a ambos lados de la ecuación. Por tanto, podemos cancelarlo, de manera que nos queda
\displaystyle (x+2)^2 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + (x -4)^2
Si expandimos los dos binomios al cuadrado, tendremos que,
\displaystyle x^2 + 4x + 4 = 64 - 16\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2} + x^2 - 8x + 16
Luego, reagrupando términos semejantes )-y dividiendo la ecuación por 4—, tenemos
\displaystyle 3x - 19 = -4 \sqrt{(x - 4)^2 + (y - 2)^2}
Ya nos deshicimos de un radical. Para deshacernos del otro repetimos el procedimiento. Elevamos al cuadrado la expresión, expandemos los binomios al cuadrado y reagrupamos términos:
\displaystyle 9x^2 - 114x + 361 = 16\left((x - 4)^2 + (y - 2)^2 \right)
es decir,
\displaystyle 7x^2 + 16y^2 - 14x - 64y - 41 = 0