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Respuesta:
Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :

Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateto opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.

Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo.

Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.
Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
a2 = b2 + c 2
142= 82 + c2 
196 = 64 + c2
196 - 64 = c2
132 = c2 y aplicando las fórmulas
11,49 = c tenemos:
Luego c = 11, 49 m.
Determina los ángulos del ejercicio anterior.
Obviamente ya sabemos que el ángulo A es el ángulo recto y por tanto A = 90º. Para calcular los otros dos vamos a hacerlo con las razones trigonométricas y con la ayuda de la calculadora.
Si queremos calcular el ángulo C con los datos que parto, lo primero es identificar los lados que conozco respecto al ángulo C, que en este caso son cateto contiguo e hipotenusa y pienso en qué razón trigonométrica intervienen esos lados. La respuesta es el coseno, así que calculo cos C
Cos C = 8 / 14 = 0,57. Ahora con la calculadora sacamos cuál es el ángulo, utilizando la función inversa de la tecla "cos", y el resultado es C = 55,25º.
Para calcular B puedo hacer lo mismo, pensar qué razón puedo calcular, o como ya tengo dos ángulos, sacarlo de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180º ( A + B + C = 180). Por cualquier camino el resultado es B = 34,75º.
De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulo agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10 m. Calcula el ángulo y los lados que faltan.
Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situación y ponerle nombre a los lados y ángulos

Esta sería nuestra situación.
Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ángulo B vale 50º.
Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ángulo C, el lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí:

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino que será más corto.
Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya podría utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo "C" sé cateto opuesto y quiero hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno: