cómo resolver este tipo de integrales?

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Respuesta dada por: CarlosMath
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           \displaystyle
I=\int \dfrac{\cos x}{\sqrt[3]{\sin^7\,x\cos^8 x}}\; dx\\ \\ \\
\text{Cambio de variable}\\ \\
t=\sin x\to dt = \cos x\; dx\\ \\
\cos^8x=(1-\sin^2x)^4=(1-t^2)^4\\ \\ \\
I=\int \dfrac{dt}{\sqrt[3]{t^7(1-t^2)^4}}\\ \\ \\
\text{Sea }t=\sqrt{u}\to dt = \dfrac{du}{2\sqrt{u}}\\ \\ \\
I=\dfrac{1}{2}\int u^{-5/3}(1-u)^{-4/3}\,du\\ \\
\text{Sea: }z=\left(\dfrac{1-u}{u}\right)^{1/3}\\ \\
\text{Despejando y diferenciando...}\\ \\
du=-\dfrac{3z^2}{(z^3+1)^2}\,dz\\ \\
\text{Entonces:} \\ \\ \\
 
                \displaystyle
I=\dfrac{1}{2}\int \dfrac{z^3+1}{z^2}\,dz\\ \\ \\
I=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z^2}{2}-\dfrac{1}{z}\right)\\ \\ \\
\text{Por ende}\\ \\
\boxed{I=-\dfrac{3}{4}\sqrt[3]{\cot^4x}+\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\tan^2x}+C}       


CarlosMath: He acortado muchos pasos, nombre del método: integral del binomio diferencial
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