Question

$A = \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right]$

a) Calcula A², A³ i A^{4}

b) Calcula A^{201} A^{344}

*Necesitaría todo el procedimiento junto con su explicación del apartado B, entiendo como se hace el apartado A, pero no se cómo relacionarlo con el B. Muchas gracias :)

Answer 1

Apartado A 
A²  = A * A = $\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&-1\end{array}\right] = -I$

A³ = A² * A = (-I)² * A =  I * A = A  = $\left[\begin{array}{ccc}0&1\\-1&0\\\end{array}\right]$

$A^{4} = A ^{2} * A ^{2} = (-I) * (-I) = I = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Con estos datos abordamos el apartado b) 
Sabemos que $A ^{4} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$ es igual a la matriz identidad. 

Entonces. 
$A^{8} = A^{4} * A ^{4} = I$
$A^{16} = A^{8} * A^{8} = I$
$A^{32} =A^{16} * A^{16} = I$
$A^{64} = A ^{32} *A x^{32} = I$
$A ^{128} = A ^{64} *A x^{64} = I$

Podemos combinarlas para expresarlo como 
$A ^{201} = A ^{128} * A ^{64} *A ^{8} * A = I * I * I * A = A$

$A ^{201} = \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right]$


Con lo que hemos hecho para este seguimos para obtener la siguiente. 
$A^{128} = A ^{64} * A ^{64} = I * I = I$
$A ^{256} =A ^{128} * A ^{128} = I * I = I$

Entonces podemos expresarlo como 
$A ^{344} = A ^{256} *A ^{64} * A ^{16} * A ^{8} = I * I * I * I = I$

$A ^{344} = I = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

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Multiplicación de matrices. 

$\left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}0&-1\\1&0\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}(0*0)+(-1*1) &(0*-1)+(-1*0)\\(1*0)+(0*1)&(1*-1)+(0*0)\\\end{array}\right] =$
$\left[\begin{array}{ccc}-1&0\\0&-1\\\end{array}\right]$ = -I

$\left[\begin{array}{ccc}fila1*columna1& fila1*columna2\\fila2*columna1&fila2*columna2\\\end{array}\right]$
siempre de la primera a la segunda.