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Hola.
La verdad es que nunca escuché una distinción entre serie de Taylor y polinomio de Taylor. Lo que sí, el polinomio puede ser de un grado determinado no necesariamente infinito.
Con respecto a la segunda pregunta. Lo que puedo decirte es que si una función es holomorfa (infinitamente diferenciable en C), entonces su serie de Taylor converge a la función en todo punto. Lo que uno puede hacer, en principio, es aprender qué funciones cumplen esta condición y luego sabrá que la suma, resta, multiplicación y división también lo hará (salvo que el denominador se haga 0 en algún punto del plano complejo, es decir, la función f(x)=11+x2 no podrá ser aproximada por su serie de Maclaurin fuera del disco unitario).
Saludos.