Respuestas
Respuesta: Es una condición que han de satisfacer los coeficientes de un polinomio, para que éste tenga raíces múltiples. Así el discriminante del polinomio cuadrático ax2 + bx + c (ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0) se simboliza por la letra griega delta Δ, y vale Δ = b2 – 4ac.
Según el valor del dicriminante Δ = b2 – 4ac sea mayor, igual o menor que cero se verifica:
- Si Δ = b2 – 4ac > 0 entonces hay dos raíces reales distintas.
- Si Δ = b2 – 4ac = 0 entonces hay una raíz doble (dos raíces reales iguales).
- Si Δ = b2 – 4ac < 0 entonces no hay raíces reales (dos raíces imaginarias conjugadas).
Ejemplo 1: Dada la ecuación 2x2 –3x + k + 2 = 0, determina el valor de k para que las raíces (soluciones) sean iguales.
Tenemos a = 2; b = – 3; c = k + 2;
Para que las soluciones sean iguales el discriminante ha de ser CERO: Δ = b2 – 4ac = 0, sustituyendo los valores =>
Δ = (–3)2 – 4·2·(k + 2) = 0 => 9 – 8·(k + 2) = 0 => 9 – 8k – 16 = 0 => – 8k – 7 = 0 => – 8k = 7 => k = –7/8
Si k = –7/8 las dos raíces son iguales (una raíz doble).
Ejemplo 2: Dada la ecuación 4x2 – kx + 2k –7 = 0, estudiar sus soluciones según los valores de k
Tenemos a = 4; b = – k; c = 2k – 7.
Para ello, hallamos el discriminante Δ = b2 – 4ac = (– k)2 – 4·4(2k – 7) = k2 – 16(2k – 7) = k2 – 32k + 112
Este discriminante a su vez es una ecuación de segundo grado en k; debemos encontrar los valores de k que la hacen menor, igual o mayor que CERO.
Se hallan resolviendo la ecuación de segundo grado: k2 – 32k + 112 = 0, => los coeficientes son a = 1; b = –32; c = 112
Puesto que el coeficiente b es par y un número no pequeño utilizamos la fórmula mitad: b´ = –32/2 = –16:
Ecuación de segundo grado en k
Por tanto la descomposición factorial es: k2 – 32k + 112 = (k – 4)(k –28)
Si ponemos las raíces entre (– ∞, ∞) en orden creciente – ∞ 4 28 ∞ obtenemos los intervalos (–∞ , 4), (4, 28) y (28, ∞)
Dando un valor cualquiera a k dentro de cada intervalo en la ecuación k2 – 32k + 112 = (k – 4)(k –28) obtenemos un valor positivo o negativo en ese intervalo, que nos determina la naturaleza de las raíces.
En el intervalo (– ∞, 4) damos el valor k = 0 => k2 – 32k + 112 = 112 > 0 (positivo)
En (4, 28) damos el valor k = 10 => k2 – 32k + 112 = 100 – 320 + 112 = – 108 < 0 (negativo)
En (28, ∞) hacemos k = 30 => 900 – 960 + 112 = 52 > 0 (positivo)
Por tanto si k €(– ∞, 4) o k € (28, ∞) => Δ = b2 – 4ac > 0 => Dos soluciones reales distintas
Si k = 4 ó k = 28 => Δ = 0 => Dos raíces reales iguales (una raíz real doble).
Si k € (4, 28) => el discriminante Δ < 0 => No hay soluciones reales (hay dos soluciones imaginarias conjugadas).
Explicación paso a paso: