Question

hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia x^2+y^2+6x-8=0 que son perpendiculares a la recta 4x-y+31=0

Answer 1

1º Calcular la pendiente de la recta que nos dan:
$4x-y+31=0 \\ y=4x+31 \\ \\ m_{r} =4$

2º Calcular la pendiente de las rectas perpendiculares a la recta que nos dan:
$m_{s}=-\frac{1}{m_{r} }=-\frac{1}{4} \\ \\ m_{s}=-\frac{1}{4}$

3º Hallar la ecuación de la tangente de la circunferencia:
$x^2+y^2+6x-8=0 \\ -y^2=x^2+6x-8 \\ y= \sqrt{-x^2-6x+8} \\ \\ y'= \frac{-2x-6}{ 2\sqrt{-x^2-6x+8}}$

4º Igualar y'=-1/4
$- \frac{1}{4} = \frac{-2x-6}{ 2\sqrt{-x^2-6x+8}} \\ \\ - \frac{1}{2} = \frac{-2x-6}{\sqrt{-x^2-6x+8}} \\ \\ -\sqrt{-x^2-6x+8}=-4x-12 \\ \\ \sqrt{-x^2-6x+8}=4x+12 \\ \\ -x^2-6x+8=16x^2+96x+144 \\ -17x^2-102x-136=0 \\ 17x^2+102x+136=0 \\ \\ x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{-102\pm \sqrt{102^2-4*17*136} }{2*17} = \frac{-102\pm \sqrt{1156} }{34} \left \{ {{x=-2} \atop {x=-4}} \right.$

Los puntos de tangecia en los que la pendiente es -1/4 de la circunferencia son x=-2 y x=-4.

5º Conocer las dos coordenadas de los dos puntos de tangencia:

$\left \{ {{x=-2} }} \right. \\ \\ -y^2=(-2)^2+6*(-2)-8\\ -y^2=4-12-8 \\ y^2=16 \\ y=\pm4 \left \{ {{y=4 } \atop {y=-4}} \right.$
(Descartamos y=-4, ya que si representamos el punto (-2,-4) vemos que la tangente es positiva)

$\left \{ {{x=-4} }} \right. \\ \\ -y^2=(-4)^2+6*(-4)-8\\ -y^2=16-24-8 \\ y^2=16 \\ y=\pm4 \left \{ {{y=4 } \atop {y=-4}} \right.$
(Descartamos y=4, ya que si representamos el punto (-4,4) vemos que la tangente es positiva)

LOS PUNTOS DE TANGENCIA QUE BUSCAMOS SON A(-2,4) Y B(-4,-4)

6º Ecuaciones de las rectas a y b:
$m_{a} =- \frac{1}{4} \\ \\ y=mx+n \\ y=- \frac{1}{4} x+n \\ \\ 4=- \frac{1}{4} (-2)+n \\n= \frac{7}{2} \\ \\ a:y=- \frac{x}{4} +\frac{7}{2} \\ \\ \\ \\ m_{b} =- \frac{1}{4} \\ \\ y=mx+n \\ y=- \frac{1}{4} x+n \\ \\ -4=- \frac{1}{4} (-4)+n \\n= -5 \\ \\ b:y=- \frac{x}{4} -5$

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Hallamos el centro de la circunferencia (llamaremos C(-3,0), hallamos el radio (r=raízde17)

Hallamos el vector unitario de la recta L: 4x-y+31=0 ; u=(1/raízde17;4/raízde17).

Luego hallamos los puntos de tangencial que llamamos A y B, A=C-u.r ; B=C+u.r ( Nos debe salir A=(-4,-4) y B=(-2,4) ).

La pendiente de las dos rectas tangentes (como son perpendiculares a la recta 4x-y+31=0 de pendiente=4) sería-1/4.

Hallamos las ecuaciones de las rectas ya que tenemos los puntos A y B y su pendiente -1/4