Question

Si la suma de los ángulos internos de un polinomio regular es 540º y su apotema es de 24 cm, calcular

su perímetro y su área.

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Answer 1

ÁNGULOS - PERÍMETRO Y ÁREA

Ejercicio

Primero, debemos calcular cuál es la figura cuya suma de ángulos internos es 540°. La encontramos con la fórmula siguiente:

S = (n - 2) · 180°

Donde "n" es el número de lados.

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Reemplazamos los datos en la fórmula:

540° = (n - 2) · 180°

540° ÷ 180° = (n - 2)

3 = n - 2

3 + 2 = n

5 = n

La figura tiene 5 lados, por lo que estamos tratando con un pentágono.

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Ahora, procedemos a hallar el perímetro del pentágono.

El perímetro es igual a sumar los 5 lados del pentágono. Pero no sabemos cuánto mide el lado, solo conocemos la apotema. Pero, con la apotema hallaremos la medida del lado.

• Vamos a trazar dos líneas, y partirán del centro de la figura a dos vértices consecutivos.  [Ver imagen adjunta]

El ángulo central  $\alpha$ es el que forman las líneas trazadas. Éste ángulo se calcula mediante la siguiente fórmula:

$\boxed{\mathsf{\alpha = \dfrac{360^{\circ}}{n}}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎Donde "n" es el número de lados.

Como la figura es un pentágono, entonces n = 5. Hallamos la medida del ángulo central:

$\mathsf{\alpha = \dfrac{360^{\circ}}{n} = \dfrac{360^{\circ}}{5} = \boxed{72^{\circ}}}$

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Bien. Veamos la siguiente fórmula:

$\boxed{\mathsf{ap = \dfrac{L}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}}}$

‏‏‎ Donde ap es la apotema, L es la medida del lado, tan es tangente.

Esta la usaremos, no para hallar la apotema, sino para la medida del lado del pentágono.

Reemplazamos en la fórmula:

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{ap = \dfrac{L}{2\tan(\frac{\alpha}{2})}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{24 = \dfrac{L}{2\tan(\frac{72^{\circ}}{2})}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{24 = \dfrac{L}{2\tan(36^{\circ})}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{24 = \dfrac{L}{2(0,73)}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{24 = \dfrac{L}{2(0,73)}}$

‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏‎ ‏‏ ‏‏‎‎$\mathsf{24 = \dfrac{L}{1,46}}$

$\mathsf{24(1,46) = L}$

$\large{\boxed{\mathsf{35,04\ cm = L}}}$

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Ahora, hallamos el perímetro y área:

Perímetro

P = 5L

P = 5(35,04 cm)

$\large{\boxed{\mathsf{P = 175,2\ cm}}}$

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Área

$\mathsf{A = \dfrac{P \cdot ap}{2}}$

$\mathsf{A = \dfrac{175,2\ cm \cdot 24\ cm}{2}}$

$\mathsf{A = \dfrac{4\ 204,8\ cm^{2}}{2}}$

$\large{\boxed{\mathsf{A = 2\ 102,4\ cm^{2}}}}$

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Respuesta. El perímetro es 175,2 cm y su área es 2102,4 cm².

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