Question

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Calcular las longitudes de los catetos sabiendo
que su diferencia es 7 cm.

Answer 1

Hola, como estas? Debajo te dejo un procedimiento para este problema

Para empezar, que datos tenemos? Sabemos que la hipotenusa de nuestro triangulo mide 13cm, y también sabemos que la diferencia entre los catetos mide 7cm, entonces tenemos:

$hipotenusa=13cm\\cateto1-cateto2=7cm$

Bueno, por teorema de Pitágoras sabemos que para los triángulos rectángulos se cumple que

$(hipotenusa)^2=(cateto1)^2+(cateto2)^2$

por lo tanto, si nosotros despejamos el cateto1 de la expresión, nos quedaría:

$cateto1-cateto2=7cm$

$cateto1=7cm+cateto2$

y eso lo reemplazamos en la expresión de Pitágoras, tenemos:

$(hipotenusa)^2=(7cm+cateto2)^2+(cateto2)^2$

$(13)^2=(7+cateto2)^2+(cateto2)^2$

$169=(7+cateto2)^2+(cateto2)^2$

desarrollamos el binomio

$169=[(7)^2+(2*7*cateto2)+(cateto2)^2]+(cateto2)^2$

resolvemos

$169=49+14cateto2+cateto2^2+cateto2^2$

$120=14cateto2+2cateto2^2$

$2cateto2^2+14cateto2-120=0$

y acá nos queda para resolver una ecuación de segundo grado, utilizamos Bhaskara

$cateto2_{1,\:2}=\frac{-14\pm \sqrt{14^2-4\cdot \:2\left(-120\right)}}{2\cdot \:2}$

nos terminan dando como soluciones

$cateto2=5cm$ y  $cateto2=-12cm$

como hablamos de distancias, no podemos hablar de números negativos, por lo que tomamos como correcto $cateto2=5cm$

Bien, ya conocemos el valor del cateto2=5cm, ahora para conocer el valor del cateto1 lo que podemos hacer es reemplazar cateto2=5cm en la expresión de la diferencia y despejar cateto1, así:

$cateto1-cateto2=7cm\\cateto1-(5cm)=7cm\\cateto1=7cm+5cm\\cateto1=12cm$

Por lo tanto, hallamos las longitudes de los catetos, cateto1=12cm y cateto2=5cm

Verifiquemos que cumple con el Teorema de Pitágoras

$(hipotenusa)^2=(cateto1)^2+(cateto2)^2\\(13cm)^2=(12cm)^2+(5cm)^2\\169cm^2=144cm^2+25cm^2\\169cm^2=169cm^2$

vemos que se cumple la igualdad por lo que nuestro desarrollo es correcto.

Espero te sirva, cualquier cosita que no se entienda o algo decime por que quedo un desarrollo largo jaja, éxitos!!

Answer 2

Respuesta:

5cm

12 cm

Explicación paso a paso:

Usemos el Teorema de Pitagoras

h² = a² + b²

Siendo h hipotenusa, a y b los catetos

Tenemos

h = 13 cm

Sea x un cateto , el otro es x + 7

13² = x² + (x+7)²

169 = x² + x² + 14x + 49

2x² + 14x + 49 - 169 = 0

2x² + 14x - 120 = 0

factorizamos

2x² + 14x - 120 = 0

(2x² + 14x - 120) ÷2 = 0 ÷2

x² + 7x - 60 = 0

x² +12x -5x -60 = 0

x(x + 12) -5(x +12) = 0

( x + 12 ) (x - 5) = 0

x + 12 = 0 x - 5 = 0

x = - 12 x = 5

Descartamos el signo negativo del 12

Un cateto mide 5 cm y el otro 12 cm