Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto c (4,1) y es tangente a la recta y=2x+1.
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Respuesta:
Explicación paso a paso: la ecuación de la circunferencia con centro desplazado es (x-h)²+(y-k)²=r² el centro es dato c=(h,k) c=(4,1)
Sabemos que la recta y=2x+1 es tangente a la circunferencia.Podemos hallar la distancia del centro a la recta para hallar el radio de la circunferencia.
La distancia de un punto P a una recta L viene dada por d(P,L)=|ax+by+c|÷|nl|
Donde nl es el vector normal de la recta.
Necesitamos la recta en su forma implicita:
Y=2x+1, 2x+1-y=0 entonces el normal de la recta sera nl=(2,-1) su modulo sera √(2)²+(-1)² y esto es √5 luego:
d(P,L)=|2×4+1-1|÷√5
8/√5 si racionalizando (8 √5)/5
Y esa distancia es el radio de la circunferencia.
Por ultimo:
(X-4)²+(y-1)²=[(8√5)/5]² resolviendo el radio al cuadrado se obtiene
[(8√5)/5]²=8²×√5²/5²
Y esto es (64×5)/25
64/5
La ecuación buscada quedara:
(X-4)²+(y-1)²=64/5
(Revisar pasos y cuentas)