en un grupo de 60 estudiantes 26 hablan frances y 12 solamente frances, 30 hablan ingles y 8 solamente ingles, 28 hablan aleman y 10 solamente aleman. tambien se sabe que 4 hablan los 3 idiomas mencionados. ¿Cuantos hablan ingles y aleman, pero no frances?
Respuestas
Hay 4 estudiantes que hablan inglés y alemán pero no francés
Sean los conjuntos:
A: estudiantes que hablan francés
B: estudiantes que hablan inglés
C: estudiantes que hablan alemán
Tenemos que:
1. |A| = 26
2. |A| - |A∩B| - |A∩C| + |A∩B∩C| = 12
3. |B| = 30
4. |B| - |A∩B| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 8
5. |C| = 28
6. |C| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C| = 10
7. |A∩B∩C| = 4
8. |AUBUC| = 60
Por teoría de conjuntos
9. |AUBUC| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|
Queremos calcular:
|B∩C| - |A∩B∩C| = |B∩C| - 4
De 1, 2 y 7:
⇒ 26 - |A∩B| - |A∩C| + 4 = 12
⇒ 30 - 12 = |A∩B| + |A∩C| ⇒ 18 = |A∩B| + |A∩C|
⇒10. - 18 = - |A∩B| - |A∩C|
Sustituimos en la ecuación 9 las ecuaciones 8, 1, 3, 5, 7 y 10
60 = 36 + 20 + 28 - 18 - |B∩C| + 4
|B∩C| = 70 - 60 = 10
Lo que queremos encontrar es
10 - 4 = 6
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