Question

en un triangulo rectángulo AbC, recto en C, se verifica que: 3senA + 4 secb = 13, el valor de ctg de A es:

Answer 1

Como A y B pertenecen a un triángulo rectángulo, entonces A+B=90°. 
Ahora, sabemos que si A y B son complementarios (suman 90°) entonces se cumple que: 
senA=cosB, cscA=secB..........
Es decir, la razón trigonométrica de uno es igual a la co-razón trigonométrica del otro. 
Entonces, aplicando este concepto al problema: 

$3senA+4cscA=13$

$3senA+4(1/senA)=13$

$3sen^2A-13senA+4=0$

$(3senA-1)(senA-4)=0$

De aquí, se obtiene que el senA puede ser 1/3 o 4, pero el seno no puede ser mayor a 1, por lo que nos queda que senA=1/3

De aquí, el cateto opuesto es 1 (aunque lo correcto es: 1K) y la hipotenusa 3, por lo que el cateto adyacente es: $\sqrt{10}$

Entonces: 
$ctgA=\frac{\sqrt{10}}{1}$