Question

de cuantas formas podemos tomar tres vocales (ya sean diferentes o iguales) de la palabra entretenimiento​

Answer 1

Explicación paso a paso:

busca las vocales a,e,i,o ,u

Answer 2

Hay  35  formas en que podemos tomar tres vocales de la palabra entretenimiento.

Explicación paso a paso:

Es un problema de permutaciones con repetición, pero que no involucran a todos los elementos.

Como no importa que se repitan las letras, el arreglo se establece en base al concepto de combinatoria para una muestra de tres elementos.

Usaremos la definición de combinación:

$\bold{nCm~=~(\begin{array}{c}n\\m\end{array})~=~\dfrac{n!}{(n~-~m)!~m!}}$

donde  

n es el total de objetos a arreglar  

m es el número o tamaño de las agrupaciones en que se van a realizar los arreglos  

La palabra entretenimiento tiene 15 letras: 7 vocales y 8 consonantes.

El problema se reduce a cuantas muestras de tres vocales podemos tomar de las 15 letras. Para ello:

Formas de tomar la muestra  =  (Formas de tomar consonantes en la muestra)(Formas de tomar vocales en la muestra)

Formas de tomar la muestra  =  (8C0)(7C3)  

Formas de tomar la muestra  =  $15C3~=~8C0\cdot7C3~=~(\begin{array}{c}8\\0\end{array})\cdot(\begin{array}{c}7\\3\end{array})\qquad\Rightarrow$

Formas de tomar la muestra  =  $\dfrac{8!}{(8~-~0)!~0!}}~\cdot~\dfrac{7!}{(7~-~3)!~3!}}~=~(1)\cdot(35)~=~35$

Hay  35  formas en que podemos tomar tres vocales de la palabra entretenimiento.