Question

Los tiempos entre fallas en una computadora personal sigue una distribución
exponencial, con una media de 300.000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) ocurra una falla en menos de 100.000 horas?
b) no haya fallas en las siguientes 500.000 horas?
c) la siguiente falla ocurra dentro de 200.000 y 350.000 horas?
d) ¿Cuáles son la media y desviación estándar del tiempo entre fallas?

Answer 1

La probabilidad de que ocurra una falla en menos de 100.000 horas es del 28,3%.

La probabilidad de no tener fallas en las próximas 500.000 horas es del 18,9%.

La probabilidad de que la próxima falla ocurra dentro de entre 200.000 y 350.000 horas es del 17,6%.

Tanto la media como la desviación estándar del tiempo entre fallas son de 300.000 horas.

Explicación:

En la distribución exponencial el parámetro es el inverso de la media:

$\lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{300.000}$

La probabilidad de que la falla ocurra antes de un tiempo es el valor de la función distribución para ese tiempo.

Dicho esto pasamos a resolver:

a) La probabilidad de que ocurra una falla en menos de 100.000 horas es igual a:

$P(X<100.000)=1-e^{-\lambda.x}=1-e^{-\frac{100.000}{300.000}}=0,283=28,3\%$

b) La probabilidad de que no haya fallas en las siguientes 500.000 horas es:

$P(x>500.000)=1-P(x<500.000)=1-(1-e^{-\lambda.x})=e^{-\lambda.x}=e^{-\frac{500.000}{300.000}}\\\\P(x>500.000)=0,189=18,9\%$

c) Para hallar la probabilidad de que la siguiente falla ocurra entre 200.000 y 350.000 horas después es:

$P(X>200.000)=e^{-\frac{200.000}{300.000}}=0,513\\\\P(X<350.000)=1-e^{-\frac{350.000}{300.000}}=0,689$

Como se trata de una función de distribución acumulada, tenemos que restar esos dos valores para hallar la probabilidad:

$P(200.000<X<350.000)=0,689-0,513=0,176=17,6\%$

d) La media del tiempo entre fallas es igual a la media de la distribución, 300.000 horas. La desviación estándar en una distribución exponencial es igual a la media, por lo tanto en este caso es de 300.000 horas.