Question

De una baraja de 52 cartas se extraen al azar 2 de ellas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean de puntajes diferentes?

Answer 1

         PROBABILIDADES.  Ejercicio.

La explicación es algo larga. A ver si puedes entenderla.

De entrada hay que saber de qué se compone una baraja de 52 cartas.

Es la baraja de póker en la cual tenemos los cuatro palos de siempre pero cada palo dispone de 13 cartas, de tal modo que  13×4 = 52

Así tenemos que cada palo, cuyas figuras representativas pueden verse en archivo adjunto, tiene lo siguiente:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K

Nos pide que las dos cartas que extraigamos sean de puntajes diferentes y hay que entender que se refiere a que los números o letras de cada una sean distintos, ok?

Para resolverlo hay que calcular primero todos los pares de cartas con puntajes iguales que serán los casos a descontar del total de pares de cartas que pueden salir de esa baraja. Estos últimos formarán lo que llamamos ESPACIO MUESTRAL que son todos los casos que pueden darse en el experimento propuesto de sacar dos cartas al azar.

Para ver cuántos pares de cartas con igual número o letra pueden salirnos de esa baraja tomamos primero un número cualquiera desde el 1 hasta el 13 que son las cartas que pertenecen a un palo.

Tomemos por ejemplo el 1   (el as)   y pensemos que en esta baraja tenemos cuatro ases correspondientes a los cuatro palos de la baraja (corazones, picas, rombos y tréboles) así que vamos a tomar los 4 elementos y los combinamos de 2 en 2.

COMBINACIONES  DE  4  ELEMENTOS  "m" (corazones, picas, rombos y tréboles)  TOMADOS  DE   2   EN   2 "n"

Acudo a la fórmula correspondiente:

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!\times (m-n)!} \\ \\ \\ C_4^2=\dfrac{4!}{2!\times (4-2)!} =\dfrac{4*3*2!}{2*1*2!} =\dfrac{12}{2} =6\ combinaciones$

Esto ocurrirá igualmente con el 2, con el 3, con el 4 ... etc... hasta llegar a la figura K que es la carta nº 13 del palo así que ese resultado hemos de multiplicarlo por 13 para conseguir saber el total de pares de cartas con el mismo número.

Pares con el mismo nº = 6 × 13 = 78 pares

Ahora vuelvo a usar la fórmula de las combinaciones de todas las cartas de la baraja pero esta vez con repetición para incluir a esos 78 pares de cartas repetidas que luego descontaré con una simple resta.

COMBINACIONES  CON  REPETICIÓN  DE  52  ELEMENTOS  TOMADOS  DE  2  EN  2

Para este caso, la fórmula dice esto:

$CR_m^n=\dfrac{(m+n-1)!}{n!*(m-1)!} \\ \\ \\ CR_52^2=\dfrac{(52+2-1)!}{2!*(52-1)!} =\dfrac{53!}{2!*51!} =\dfrac{53*52*51!}{2*1*51!} =\dfrac{53*52}{2} =1.378$

Ofrece un resultado de 1.378 casos posibles.

Como ya he dicho antes, la operación a realizar ahora es la resta entre el total de casos  menos los que hemos calculado antes,  que contabilizaban todos los pares de cartas que podían hacerse coincidiendo el número o letra. Con ello obtendremos la cantidad de casos favorables.

Pares con puntajes diferentes = 1378 - 78 = 1.300 casos favorables, es decir, los que cumplen la condición de ser pares diferentes.

Acudo finalmente a la ley general de probabilidad que dice:

P = Casos favorables / Casos posibles ... sustituyendo datos...

P = 1300 / 1378  que como fracción no suele indicar nada y lo que procede es pasarlo a porcentaje.

Para ello realizo el cociente entra ambas cantidades y el resultado lo multiplico por 100:

$Probabilidad=\dfrac{1300}{1378} \times 100=\boxed{\bold{94,34\% }}$