Respuestas
Respuesta:
(a) El gradiente de f(x, y) = x
2 − y
2 + xy es
∇f(x, y) = (2x + y, −2y + x)
y los puntos cr´ıticos son soluci´on el sistema
2x + y = 0
−2y + x = 0
cuya soluci´on es (0, 0). El Hessiano es
2 1
1 −2
que es indefinida. Por tanto (0, 0) es un punto de silla.
(b) El gradiente de f(x, y) = x
2 + y
2 + 2xy es ∇f(x, y) = (2x + 2y, 2y + 2x). Los puntos cr´ıticos son los
puntos de la forma y = −x. El Hessiano es
2 2
2 2
que es semidefinido positivo. Las condiciones de segundo orden no permiten clasificar estos puntos
cr´ıticos. Pero, como f(x, y) = (x + y)
2 ≥ 0 y f(x, −x) = 0 vemos que los puntos de la forma (x, −x) son
m´ınimos globales de f .
(c) El gradiente de f(x, y) = e
x cos y
es
∇f(x, y) = (e
x cos y
cos y, −xex cos y
sen y)
Los puntos cr´ıticos son soluci´on del sistema
(cos y) e
x cos y = 0
−x (sen y) e
x cos y = 0
≡
cos y = 0
−x sen y = 0
La primera ecuaci´on implica que
y =
π
2
+ kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
Para esos valores de y, sen y 6= 0, y la segunda ecuaci´on implica que x = 0. Las soluciones son
(0,
π
2
+ kπ) k = 0, ±1, ±2, . . .
El Hessiano es
e
x cos y
cos2 y − sen y − x sen y cos y
− sen y − x sen y cos y −x cos y + x
2
sen2 y
Para x = 0, y =
π
2 + kπ, obtenemos
0 − sen y
− sen y 0
y= π
2 +kπ
cuyo determinante es − sin2
(
π
2 + kπ) = −1 por lo que los puntos cr´ıticos son puntos de silla.
1
2
(d) El gradiente de f(x, y) = e
1+x
2−y
2
es
∇f(x, y) = 2e
1+x
2−y
2
(x, −y)
y el ´unico punto cr´ıtico es (0, 0). El Hessiano es
Hf(0, 0) = e
1+x
2−y
2
2 + 4x
2 −4yx
−4yx −2 + 4y
2
x=0,y=0
=
2e 0
0 −2e
que es indefinida, por lo que (0, 0) es un punto de silla.
(e) El gradiente de f(x, y) = x sen y es
∇f(x, y) = (sen y, x cos y)
y los puntos cr´ıticos son las soluciones del sistema
sen y = 0
x cos y = 0
De la primera ecuaci´on obtenemos
y = kπ, k = 0, ±1, ±2, . . .
por lo que cos y = ±1 y la segunda ecuaci´on implica que x = 0. Las soluciones son
(0, kπ) k = 0, ±1, ±2, . . .
El Hessiano es
0 cos y
cos y −x sen y
x=0,y=kπ
=
0 cos(kπ)
cos(kπ) 0
cuyo determinante es − cos2
(kπ) = 1 por lo que es indefinida y los puntos cr´ıticos son puntos de silla.
(f) El gradiente de f(x, y) = xe−x
(y
2 − 4y) es
∇f(x, y) = e
−x
((1 − x)(y
2 − 4y), x(2y − 4))
Los puntos cr´ıticos son las soluciones del sistema
(1 − x)(y
2 − 4y) = 0
x(2y − 4) = 0
es decir (0, 0), (0, 4) y (1, 2). El Hessiano es
Hf(x, y) = e
−x
(x − 2)(y
2 − 4y) (1 − x)(2y − 4)
(1 − x)(2y − 4) 2x
Calculado en los puntos cr´ıticos obtenemos
Hf(0, 0) =
0 −4
−4 0
(indefinida)
Hf(0, 4) =
0 4
4 0
(indefinida)
Hf(1, 2) =
4e
−1 0
0 2e
−1
(definida positiva)
por lo que (0, 0), (0, 4) son puntos de silla y (1, 2) es un m´ınimo local.
Explicación:
Explicación: lo que tienes que hacer es aíslar la variable dividiendo cada lado por factores que no contengan la variable.
(Puse la respuesta sin el resultado me confundí perdon por eso :c pero ahi ya la edite.)