Question

Dados tres puntos hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por A(-16,11) B(10,12) C(-2,-10)
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Answer 1

Respuesta: La ecuación de la circunferencia es:

[x +   (219/80)]² + [y - (187/40)]²  = 1294397 / 6 400

Explicación paso a paso:

La ecuación de una circunferencia cuyo centro es (h,k) y cuyo radio es R, es:

(x - h)² + (y - k)²  = R²

Como la circunferencia pasa por el punto A(-16, 11), entonces:

(-16 - h)² + (11 - k)²  = R²  ............... (1)

También pasa por el punto B(10,12), por tanto:

(10 - h)² + (12 - k)²  = R² ................(2)

Y además por pasa por el punto C(-2,-10). Entonces:

(-2 - h)² + (-10 - k)²  = R² ...............(3)

Al reorganizar las 3 ecuaciones , se obtiene:

El miembro izquierdo de (1) se iguala con el miembro izquierdo de (2):

   (-16 - h)² + (11 - k)²  = (10 - h)² + (12 - k)²

⇒256 + 32h + h²  +   11² - 22k + k²  = 100 - 20h + h² + 144 - 24k + k²

⇒32h + 20h - 22k + 24k  = 100 + 144 - 256 - 121

⇒52h + 2k  = -133 ................ (4)

El miembro izquierdo de (1) se iguala con el miembro izquierdo de (3):

   (-16 - h)² + (11 - k)²  =  (-2 - h)² + (-10 - k)²

⇒256 + 32h + h²  +   11² - 22k + k²  =  4 + 4h + h² + 100 + 20k + k²

⇒32h - 4h - 22k - 20k  = 4 + 100- 256 - 121

⇒28h  -  42k  =  -273  ................ (5)

Se multiplica la ecuación (4) por 21. Después se suma con la (5):

1 092h + 42k = -2 793

    28h -  42k =    -273

............................................

1 120h   =            -3 066

        h   =            -3 066 / 1 120

        h   =            -219 / 80

Al sustituir el valor de   h  en la ecuación (4), se obtiene:

52 (-219 / 80)  + 2k  = -133

                            2k  = -133 +  (2847/20)

                            2k  = 187 / 20

                              k  = 187 / 40

Y al sustituir los valores de h y de k en la ecuación (2) se obtiene el valor de R:

R  =  √(1294397 / 6 400)

R  ≈ 14,2214

Ecuación de la circunferencia:

[x +   (219/80)]² + [y - (187/40)]²  = 1294397 / 6 400