2. (Representación/Cálculo) Tomando un sistema de coordenadas adecuado, represente la
ecuación de la sección transversal del paraboloide, mostrado en la figura 3.
(Defina sus variables, sus unidades y sus restricciones)
Respuestas
La sección transversal del paraboloide tiene por ecuación la parábola
y² = 72x restringida a: 0 ≤ x ≤ 50/9 ∧ -20 ≤ y ≤ 20
Explicación paso a paso:
La sección transversal del paraboloide es una parábola de eje horizontal cuya ecuación canónica viene dada por:
(y - k)² = ±4p(x - h)
donde:
(h, k) vértice de la parábola
p distancia entre el foco y el vértice
En el caso que nos ocupa, la parábola tiene sentido positivo (abre a la derecha), el vértice es el origen de coordenadas, punto (0, 0) y la distancia p vale 18 m, según la coordenada x del foco.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es:
(y - 0)² = 4(18)(x - 0) ⇒ y² = 72x
Las variable x y representan distancias lineales y se miden en metros.
Se observa que el paraboloide está limitado a una altura de 20 m; por lo que se sustituye y = 20 en la ecuación y se obtiene el valor de x correspondiente
(20)² = 72x ⇒ x = 50/9 m = 5,55 m
En definitiva, la sección transversal del paraboloide tiene por ecuación la parábola
y² = 72x restringida a: 0 ≤ x ≤ 50/9 ∧ -20 ≤ y ≤ 20