Question

Si alfa y beta son las raíces de la ecuación x^2 -px +q=0, calcular (alfa cubo +beta cubo)

Respuesta: (alfa cubo +beta cubo) = p^3 -3pq

Answer 1

Tienes lo siguiente:
$(x- \alpha )(x- \beta )=0 \\ x^2-( \alpha + \beta )x + \alpha \beta =0\\ x^2-px+q=0 \\ -p=-( \alpha + \beta ) \\ p= \alpha + \beta \\ q= \alpha \beta \\ \\ ( \alpha + \beta )^3= \alpha ^3+3 \alpha ^2 \beta +3 \alpha \beta ^2+ \beta ^3= \alpha ^3+ \beta ^3+3 \alpha \beta ( \alpha + \beta ) \\ \to \alpha ^3+ \beta ^3=( \alpha + \beta )^3-3 \alpha \beta ( \alpha + \beta )=\boxed{p^3-3qp}$

Saludos!

Answer 2

Sabiendo que alfa y beta son raíces de x² -px + q = 0 podemos afirmar que alfa al cubo más beta al cubo viene siendo p³ - 3pq.

Explicación paso a paso:

Sabemos que tanto alfa como beta son raíces de x² -px + q = 0, entonces se cumple que:

(x - α)·(x - β) = 0

Desarrollamos:

x² - x·(β + α) + α·β = 0

Igualamos al polinomio y nos quedaría como:

x² + x·(β - α) -α·β = x² -px + q

Aplicamos igualación de coeficiente y tenemos que:

• -p = -(β + α)
• q = α·β

Partiendo de esta igualdad nos queda que:

(α³ + β³) = (α + β)³ - 3αβ(α + β)

(α³ + β³)  = p³ - 3pq

Quedando demostrado lo indicado.

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