Question

Un pelotero lanza una pelota con una velocidad de 35 m/s formando un ángulo con la horizontal de 20. ¿Cuál es la altura máxima, el tiempo en el aire y el alcance de la pelota? ​

Answer 1

La altura máxima que alcanza la pelota es de 7,31 metros

El tiempo de vuelo de la pelota es de 2,44 segundos

El alcance del proyectil es de 80,25 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Para encontrar la posición del proyectil es esencial establecer un sistema de referencia. En donde la velocidad con que se lanza el proyectil formará un ángulo α con la horizontal, que nos permitirá determinar las componentes x e y recurriendo a las relaciones trigonométricas habituales.

$\boxed {\bold { {V_{y} =V \ . \ sen \ \theta}}}$

Y para el eje x

$\boxed {\bold { {V_{x} =V_{} \ . \ cos \ \theta}}}$

Siendo las ecuaciones del movimiento parabólico

Para el eje y (MRUV)

$\boxed {\bold { {V_{y} =V_{0y} +a_{y} \ . \ t }}}$

$\boxed {\bold { y ={y_{0} +V_{0y} \ . \ t + \frac{1}{2} \ . \ a_{y} \ . \ t^{2} }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{y} = -g$

Para el eje x (MRU)

$\boxed {\bold { x ={x_{0} +V_{x} \ . \ t }}}$

$\textsf{Donde } \ \ \ \bold a_{x} = 0$

Solución:  

Como se trata de una composición de movimientos en donde ambos son independientes

Hallaremos las componentes horizontal y vertical para una $\bold { V_{0} = 35 \ m /s }$

Velocidad horizontal

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje x    

$\boxed {\bold { {V_{0x} =V_{0} \ . \ cos \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0x} = 35 \ m/ s \ . \ cos \ 20^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0x} = 32,89\ m/ s }}$

Velocidad vertical

Velocidad inicial del proyectil sobre el eje y  

$\boxed {\bold { {V_{0y} =V_{0} \ . \ sen \ \theta}}}$

$\boxed {\bold { V_{0y} = 35\ m/ s \ . \ sen \ 20^o }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0y} =11,97 \ m/ s }}$

Las velocidades horizontal y vertical del lanzamiento son respectivamente de 32,89 m/s y de 11,97 m/s

Hallamos la altura máxima

Calculamos antes el tiempo de subida de la pelota

El tiempo que tarda el objeto en subir está dado por

$\boxed {\bold {V_{y} \ = \ V_{0y} \ - \ g \ . \ t }}$

Cuando el proyectil alcanza su altura máxima ya no sube más y en ese instante de tiempo su velocidad es cero  $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold {V_{y} = 0 \ = \ V_{0}y \ - \ g \ . \ t_{subida} }}$

$\textsf{Despejando el tiempo que tarda en subir }$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{V_{0y} }{g} }}$

$\boxed {\bold {t_{subida} = \frac{ 11,97 \ m/s }{9,8 \ m/s^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold {t_{subida} =1,22 \ segundos }}$

Sabemos que la altura máxima del proyectil se alcanza a la mitad del tiempo de vuelo. Es decir, para el tiempo de subida

Por lo tanto

Se sustituye este valor en la ecuación de la coordenada y para hallar la altura máxima:    

$\boxed {\bold { y_{max} = {V_{0y} \ . \ t_{hmax} \ +\ \frac{g \ . \ t_{hmax}^{2} }{2} }}}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 11,97\;m/s \ . \ 1,22\;s \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ (1,22\;s)^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { y_{max} =14,6034 \;m \ + \ \frac{-9,8\;m/s^2 \ . \ 1,4884\;s^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { y_{max} =14,6034 \;m \ + \ \frac{-14,58623\;m }{2} }}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 14,6034\;m -7,29316\;m }}$

$\boxed {\bold { y_{max} = 7,31024\;m }}$

$\large\boxed {\bold { y_{max} \approx 7,31\;metros }}$        

La altura máxima que alcanza la pelota es de 7,31 metros

Cálculo del tiempo de permanencia en el aire

$\large\textsf{El tiempo de permanencia en el aire es }$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2\ t_{subida} }}$

$\textsf{Reemplazando }$

Si

$\boxed {\bold {t_{subida} = 1,22\ s }}$

$\boxed {\bold {t_{aire} = 2 \ . \ (1,22 \ s) }}$

$\large\boxed {\bold {t_{aire} = 2,44\ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la pelota es de 2,44 segundos

Hallando el alcance del proyectil

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazando }$      

$\boxed {\bold { x_{MAX} = 32,89 \ m/s \ . \ 2,44 \ s }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =80,2516 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} = 80,25 \ metros }}$

El alcance del proyectil es de 80,25 metros