1.Encontrar los valores de 'x' e 'y', en el siguiente sistema de ecuaciones:
x - 5 = y
3x - y = 25
Respuestas
Respuesta:
Podemos encontrar la solución a un sistema de ecuaciones al graficarlas. Hagámoslo con el siguiente sistema:
\goldD{y=\dfrac{1}{2}x+3}y=
2
1
x+3start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10
\greenE{y=x+1}y=x+1start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f
Primero grafiquemos \goldD{y=\dfrac{1}{2}x+3}y=
2
1
x+3start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10. Observa que la ecuación ya se encuentra en la forma pendiente-ordenada al origen, por lo que podemos graficarla empezando en la intersección con el eje yyy, cuyo valor es 333, y luego avanzando 111 hacia arriba y 222 a la derecha.
Después, grafiquemos \greenE{y=x+1}y=x+1start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f.
Las rectas se intersecan en exactamente un punto, que representa la solución al sistema de ecuaciones.
Esto tiene sentido, pues cada punto en la recta dorada es solución de la ecuación \goldD{y=\dfrac{1}{2}x+3}y=
2
1
x+3start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10, y cada punto en la recta verde es solución de \greenE{y=x+1}y=x+1start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f. Por lo tanto, el único punto que es una solución de ambas ecuaciones es el punto de intersección.
Verificar la solución
Así, de graficar las dos soluciones, encontramos que el par ordenado (4,5)(4,5)left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis es la solución del sistema. Verifiquemos el resultado al sustituir x =4x=4x, equals, 4 y y = 5y=5y, equals, 5 en ambas ecuaciones.
La primera ecuación:
\begin{aligned} \goldD{y} &\greenE= \goldD{\dfrac12x + 3} \\\\ 5&\stackrel?= \dfrac12(4) + 3 &\gray{\text{Sustituye x = 4 y y = 5.}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{¡Sí!}}\end{aligned}
y
5
5
=
2
1
x+3
=
?
2
1
(4)+3
=5
Sustituye x = 4 y y = 5.
¡S
ı
ˊ
!
La segunda ecuación:
\begin{aligned} \greenE{y} &\greenE= \greenE{x+1} \\\\ 5&\stackrel?= 4 + 1 &\gray{\text{Sustituye x = 4 y y = 5.}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{¡Sí!}}\end{aligned}
y
5
5
=x+1
=
?
4+1
=5
Sustituye x = 4 y y = 5.
¡S
ı
ˊ
!
¡Muy bien! El punto (4, 5)(4,5)left parenthesis, 4, comma, 5, right parenthesis ciertamente es una solución.
¡Practiquemos!
Problema 1
A continuación graficamos el siguiente sistema de ecuaciones.
y=-3x-7y=−3x−7y, equals, minus, 3, x, minus, 7
y=x+9y=x+9y, equals, x, plus, 9
Encuentra la solución del sistema.
x =x=x, equals
y =y=y, equals
[Mostrar la solución.]
Problema 2
Aquí hay un sistema de ecuaciones:
y=5x+2y=5x+2y, equals, 5, x, plus, 2
y=-x+8y=−x+8y, equals, minus, x, plus, 8
Grafica ambas ecuaciones.
Encuentra la solución del sistema.
x=x=x, equals
y=y=y, equals
[Mostrar la solución.]
Problema 3
Aquí hay un sistema de ecuaciones:
8x-4y=168x−4y=168, x, minus, 4, y, equals, 16
8x+4y=168x+4y=168, x, plus, 4, y, equals, 16
Grafica ambas ecuaciones.
Encuentra la solución del sistema.
x=x=x, equals
y=y=y, equals
[Mostrar la solución.]
Problemas de desafío
1) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones que se grafica a continuación?
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
000
111
222
Infinitas
[Mostrar la solución.]
2) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones que se grafica a continuación?
(Las dos rectas son paralelas, por lo que nunca se intersecan)
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
000
111
222
Infinitas
[Mostrar la solución.]
3) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones que se grafica a continuación?
(Las dos rectas son idénticas. Están una encima de la otra, por lo que se intersecan en un número infinito de puntos.)
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
000
111
222
Infinitas
[Mostrar la solución.]
4) ¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales tenga exactamente dos soluciones?
Pista: Piensa en las gráficas de los problemas anteriores.
Escoge 1 respuesta:
Escoge 1 respuesta:
Sí
No
[Mostrar la solución.]
Respuesta:
x = 10
y = 5
Explicación paso a paso:
MÉTODO DE IGUALACIÓN:
x - 5 = y ⇒ x - y = 5
3x - y = 25
Ecuaciones:
x - y = 5
3 x - y = 25
Despejar x en ambas ecuaciones:
Primera ecuación:
x - y = 5
x = 5 + y
Segunda ecuación:
3 x - y = 25
3 x = 25 + y
x = 25 + y / 3
Igualar ecuaciones:
5 + y = 25 + y / 3
3 ( 5 + y ) = 25 + y
15 + 3 y = 25 + y
3 y - y = 25 - 15
2 y = 10
y = 10/2
y = 5
Reemplazar y en una ecuación para sacar x:
x - y = 5
x - 5 = 5
x = 5 + 5
x = 10
Comprobar:
x - y = 5
10 - 5 = 5
5= 5✓
3 x - y = 25
3 ( 10 ) - 5 = 25
30 - 5 = 25
25 = 25✓