Respuestas
Respuesta:
Teorema fundamental de proporcionalidad: Dadas dos rectas r y s que se cortan en el punto O y dadas dos longitudes a y b sobre cada una de las rectas respectivamente de tal forma que determinan los segmentos OA=a y el OB=b, como podemos observar en la imagen. Trazando la recta que une los puntos A y B y rectas una recta paralela a esta que corta a las rectas r y s en el punto X y X’ respectivamente, entonces al segmento OX se le hace corresponder el segmento OX’.
Por tanto se cumple la siguiente razón de proporcionalidad:
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En todas la razones de proporcionalidad entre segmentos se cumplen las siguientes propiedades:
1) El producto de medios es igual al producto de extremos:
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2) Si cambiamos el orden de los extremos obtenemos la misma razón de proporcionalidad:
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3) Análogamente al apartado anterior, cuando cambiamos los medios también obtenemos la misma razón de proporcionalidad:
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4) Si cambiamos el orden de las fracciones no cambia la proporcionalidad:
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5) Si invertimos los numeradores y los denominadores en cada fracción la proporcionalidad no es la misma:
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6) Si sumamos o restamos a cada antecedente su consecuente obtenemos otra proporción.
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PROPORCIONES NOTABLES
Vamos a ver algunos de los ejemplos y las proporciones más notables.
-Cuarto proporcional: Dados tres segmentos a, b y c llamamos cuarto proporcional x, de los segmentos a, b y c, como el único segmento que verifica la siguiente relación: a/b=c/x.
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Como podemos ver de forma geométrica, si trazamos la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos el punto de corte con la recta s, de tal forma que el segmento OX es el cuarto proporcional buscado.
Como se ve, trazando la paralela a la recta AC que pasa por B obtenemos un punto
X de corte con la recta s, tal que OX = x es el segmento buscado, el cuarto proporcional.
-Tercero proporcional: Dados dos segmentos a y b cualesquiera, llamamos tercero proporcional de a y b al segmento x tal que: a/b=b/x.
La construcción es similar al cuarto proporcional considerando que c=b.
-Cuaterna armónica: Dados cuatro puntos alineados A, B, X y X’, diremos que forman una cuaterna armónica siempre y cuando se cumpla la siguiente razón de proporcionalidad entre los segmentos: XA/XB=X’A/X’B
Explicación paso a paso:
Razón entre dos segmentos:
Se denomina razón entre dos segmentos, AB y CD, al cociente entre la longitud del segmento AB y la longitud del segmento CD.
Se escribe:
Actividad 1:
En el siguiente applet puedes variar la longitud de los dos segmentos dibujados moviendo los puntos B y D.
Mueve los puntos B y D de manera que la razón entre los dos segmentos...
a. sea la misma que tienen ahora, es decir, 0,5.
b. sea 1.
c. sea 3
Respuesta:
Explicación paso a paso: