Question

¿Cómo son los siguientes vectores?

(1,0,1),(0,1,0),(2,1,2)

Answer 1

Explicación:

Ejercicios

1.- Determinar el valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R

3

pertenezca al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) >.

Soluci´on. (1, x, 5) pertenece al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) > si y s´olo si (1, x, 5) es combinaci´on

lineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o sea, si existen α, β ∈ R tales que

(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),

Pero entonces,

1 = α + β

x = 2α + β

5 = 3α + β

y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.

2.- Calcular bases de los subespacios de R

4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 = 0}

y T =< (1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1) >.

Solución. Tenemos

S = {(x1, x2, x3, x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1, x1, x3, x4)|x1, x2, x3 ∈ R} =< (1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1) >,

luego un sistema generador de S es {(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)}. Ahora,

(0, 0, 0, 0) = α(1, 1, 0, 0) + β(0, 0, 1, 0) + γ(0, 0, 0, 1) ⇒ α = β = γ = 0,

o sea que es libre, resulta que BS = {(1, 1, 0, 0),(0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)} es una base de S.

Un sistema generador de T es (1, 1, 2, 1),(2, 3, −1, 1). Pero es tambi´en libre, ya que

(0, 0, 0, 0) = λ(1, 1, 2, 1) + β(2, 3, −1, 1) →

0 = λ + 2β

0 = λ + 3β

0 = 2λ − β

0 = λ + β