Question

El décimo y vigésimo sexto terminó de una progresión geométrica son: a10= 1/128 y a26= 512. Encontrar los primeros cuatro términos.

Answer 1

Respuesta:

¡Hola!

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad, denominada razón.

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Tenemos como dato:

• $a_{10}$ = $\dfrac{1}{128}$
• $a_{26}$ = $512$

Para encontrar los primeros cuatro términos, debemos de conocer el valor de la razón, para ello utilizaremos la siguiente fórmula:

$\large\boxed{r=\dfrac{a_{n}}{a_{n-1} }}$

$\mathfrak{Donde:}$

• $r$ = Razón
• $a_{n}$ = Término enésimo
• $a_{n-1}$ = Término consecutivo menor

Para hallar la razón, es necesario 2 términos consecutivos, sin embargo no contamos con ello, así que restaremos los subíndices del $a_{10}$ y $a_{26}$.

$a_{26}$ y $a_{10}$ → 26 - 10 = 16

Si analizamos bien, desde el $a_{10}$, se necesita  multiplicar 16 veces la razón para llegar hasta el $a_{26}$, es por ello que restamos los subíndices.

Planteamos una ecuación

$\dfrac{1}{128}\times r^{16} = 512$

$\dfrac{r^{16} }{128}=512$

$r^{16} = 512\times 128$

$r^{16} = 65536$

$r=\sqrt[16]{65536}$

$\large\boxed{r=2}$

Finalmente hallamos la razón de esta progresión geométrica.

Ahora se viene lo chido

Nos piden encontrar los primeros cuatro términos, para ello usaremos la siguiente fórmula:

$\large\boxed{a_{n}=a_{1}\times r^{n-1} }$

$\mathfrak{Donde:}$

• $a_{n}$ = Término enésimo
• $a_{1}$ = Primer término
• $r$ = Razón

Queremos hallar el primér término, jugaremos con el $a_{10}$.

Entonces:

$a_{10}=a_{1}\times r^{10-1}$

$\dfrac{1}{128} = a_{1}\times 2^{10-1} }$

$\dfrac{1}{128} = a_{1}\times 2^{9} }$

$\dfrac{1}{128} = a_{1}\times 512 }$

$\dfrac{\dfrac{1}{128}}{\dfrac{512}{1}}=a_{1}$

$\large\boxed{\dfrac{1}{65536}=a_{1}}$

Acabamos de hallar el primer término de la progresión geométrica, por tanto para hallar los demás 3 términos, solamente multiplicamos por la razón, y así sucesivamente.

Por tanto:

• $a_{1} = \boxed{\dfrac{1}{65536}}$

• $a_{2} = \dfrac{1}{65536}\times 2= \boxed{\dfrac{1}{32768} }$

• $a_{3} = \dfrac{1}{65536}\times 2\times 2= \boxed{\dfrac{1}{16384} }$

• $a_{4} = \dfrac{1}{65536}\times 2\times 2\times 2= \boxed{\dfrac{1}{8192} }$

Respuesta: Los primeros cuatro términos son $\frac{1}{65536} ;\frac{1}{32768} ;\frac{1}{16384} ;\frac{1}{8192}$