Respuestas
Respuesta:
x = 22 / (1 + 1/10¹⁹)
Explicación paso a paso:
log x = 19 + log(22 - x)
=> log x = log 10¹⁹ + log(22 - x)
=> log x = log(10¹⁹(22 - x))
Ambos logaritmos decimales solo pueden ser iguales si sus argumentos lo son (es condición necesaria, pero no suficiente).
x = 10¹⁹(22 - x)
=> x = 22·10¹⁹ - 10¹⁹x
=> x(1 + 10¹⁹) = 22·10¹⁹
=> x = 22·10¹⁹ / (1 + 10¹⁹)
= 22 / (1 + 1/10¹⁹)
Eso es prácticamente igual a 22, pero por debajo, lo cual tiene gran importancia.
Había dicho antes que la igualdad en los argumentos es condición necesaria, pero no suficiente. Para ver si es solución sustituimos en los logaritmos originales para comprobar si pertenecen a su dominio (es decir, si son mayores que cero). En el segundo logaritmo, log(22 - x), si x fuera igual a un número superior a 22, aunque fuera muy levemente superior, dicho logaritmo no existiría por ser negativo. En nuestro caso sí existe, de modo que podemos dar por válida la solución.
A pesar de la insignificancia del 1/10¹⁹ es importante ponerlo en la solución. No solo porque su valor positivo hace que el logaritmo exista, sino porque la igualdad no se cumple ni de lejos para otros valores pequeños, como puedes comprobar con la calculadora. Digamos que la igualdad está en el filo de la navaja, y cualquier imprecisión la hace caer.