Question

Determine la medida del ángulo mayor de un triángulo
cuyos lados miden 2, 3 y 4 pies.

Answer 1

El mayor ángulo del triángulo mide aproximadamente 104,477°

Se halla aplicando la inversa del coseno que para este caso es:

$\boxed {\bold {A = cos^{-1} \left (-\frac{ 1 }{4 } \right) }}$

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Nota: Se dice que es una generalización del teorema de Pitágoras porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como,

a² + b² = c²

Siendo a la hipotenusa del triángulo                                              

Solución

Hallando el ángulo A

Por el teorema del coseno podemos expresar            

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(A ) }}$  

Luego

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2} }{2 \ . \ b \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{2^{2} + 3^{2} - 4^{2} }{2 \ . \ 2 \ . \ 3 \ } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{4 + 9 - 16 }{12 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= \frac{- 3 }{12 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= -\frac{ 3 }{12 } }}$

$\boxed {\bold {cos(A )= -\frac{ 1 }{4 } }}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {A = arccos \left (-\frac{ 1 }{4 } \right) }}$

Lo que es lo mismo que expresar

$\boxed {\bold {A = cos^{-1} \left (-\frac{ 1 }{4 } \right) }}$

Determinamos el valor del ángulo A

$\boxed {\bold {A = 104,47751218 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {A \approx 104,477^o }}$

Luego al ser el ángulo A un ángulo mayor de 90°, se trata de un ángulo obtuso, donde los dos ángulos restantes del triángulo son agudos

Concluyendo que podemos aseverar que es este el ángulo de mayor valor del triángulo dado                                  

No obstante hallaremos el valor de los otros dos ángulos del triángulo para comprobar la afirmación

Hallando el ángulo B

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(B ) }}$

Luego

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2} }{2 \ . \ a \ . \ c \ } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{4^{2} + 3^{2} - 2^{2} }{2 \ . \ 4 \ . \ 3 \ } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{16 + 9 - 4 }{24 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 21 }{24 } }}$

$\boxed {\bold {cos(B )= \frac{ 7 }{3 } }}$

Aplicamos la inversa del coseno para hallar el ángulo

$\boxed {\bold {B = arccos \left (\frac{ 7 }{3 } \right) }}$

Lo que es lo mismo que expresar

$\boxed {\bold {B = cos^{-1} \left (\frac{ 7 }{3 } \right) }}$

Determinamos el valor del ángulo B

$\boxed {\bold {B = 28,95502437 ^o }}$

$\large\boxed {\bold {B \approx 28,955^o }}$

Hallando el ángulo C

Como la sumatoria de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Como ya conocemos dos de los ángulos del triángulo, vamos a hallar el tercero

Planteando

$\boxed {\bold {180^o = A +B +C }}$

$\boxed {\bold {180^o = 104,477^o +28,955^o +C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o-104,477^o -28,955^o }}$

$\large\boxed {\bold {C \approx 46,568^o }}$

Se agrega un gráfico para comprender las relaciones entre los lados y los ángulos del triángulo planteada