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Hola!
Yo también tuve esta pregunta una vez, y la encontré en un foro, con una respuesta muy larga pero la guarde como parte de mis documentos matemáticos que puedo llegar a necesitar, ya que estudio ingeniería. Copiaré la respuesta completa tal como la vi, ya que no tiene sentido volver a copiar todo lo que está escrito ahí, me tomara tiempo y me podría equivocar escribiéndolo quitándole claridad. dejo claro pues que esto es un copy-paste de otro autor, pero sé que a vos te servirá. Saludos!
Efectivamente, si bien la definición de logaritmo:
?es la potencia de la base que da como resultado el numero dado?
es simple cabe preguntarse:
¿como hallarlo si el número no es potencia exacta de la base?
Comencemos calculando logaritmos en base dos:
El logaritmo base dos de 4 es 2
El logaritmo base dos de 8 es 3
¿Cuál será el logaritmo base dos de 5 ?
Evidentemente es un número que esta entre dos y tres
Dos coma.... algo ¿Coma cuanto?????
Primero pensemos, por ejemplo:
¿Que significa 2 a la potencia 3/2?
Es la raíz cuadrada de dos al cubo
y 2 a la potencia 2,3
Es la raíz décima de 2 a la 23
y 2 a la potencia 2,125
Es la raíz milésima de 2 a la 2125
Vemos que numéricamente la cosa se hace más y más complicada
Uno no pude andar sacando raíces centésimas o milésimas así como así. A no ser por supuesto que use logaritmos pero eso no vale porque son los logaritmos a lo que queremos llegar.
Supongamos que logaritmo base dos de cinco sea a/b
Eso significa la raíz b de 2 dos a la a es cinco
Y esto implica que 5 elevado a la b es igual a 2 elevado a la a
Esto es lo que tengo que buscar.
Si bien no hay una potencia (entera) de 5 que sea también potencia (entera) de dos pero lo que tengo que hacer es buscar potencias que sean parecidas. Recuerda que los logaritmos son irracionales y solo se los puede conocer con aproximación.
Escribo entonces en un papel todas las potencias de dos que puedo y también las primeras potencias de 5.
Así encuentro que :
5 al cubo es 125 y 2 a la séptima es 128
Por lo tanto 2 a la 7/3 es un poco más que 5
Por lo tanto Log2 de 5 es algo menor que 7/3= 2.33
Sigo buscando y encuentro que
2^20=1073741824 y 5^13=1220703125
Por lo tanto 2 a la 20/13 es un poco menos que 5
Por lo tanto Log2 de 5 es más que 20/13=2,308
Entonces Log2 de 5 está entre 2,308 y 2.33
Ahora podemos seguir sacando conclusiones para otros números
Si tomamos Log2 de 5=2,23
y como 10=5*2 , entonces Log2 de 10=2,23+1=3,23
También sacamos en conclusión que Log10 de 2=1/3,23=0,3
El Log10 de 2 lo podemos aproximar también a partir de que
2^10=1024 que es algo mayor que 1000=10^3
de donde 2^(3/10) aproximadamente=10
Con cada logaritmo podemos sacar mas conclusiones
Asi Log 10 de 50=Log (100/2)=2-0,3=1,7
Si nos fijamos por ejemplo que 7^2=49 es un poco menor que 100/2 entonces Log 10 de 7 es algo menor que 1,7/2=0,85
Por supuesto que todo esto tiene un objetivo conceptual .
Para encontrar el logaritmo de un numero usamos la calculadora.
Un método numérico mas general es el desarrollo en serie de potencias de potencias. Las series de potencias sirven para aproximar todo tipo de funciones a partir de sus derivada y par aplicarlas hace falta conocer Calculo Infinitesimal y no hace específicamente al tema logaritmos.
Comparar potencias a mi me parece una manera interesante de comprender el tema y sacar algunos logaritmos aunque mas no sea con uno o dos decimales.