Question

Una terreno rectangular es tal que el lado mayor excede en 5 al doble del lado menor. Si el costo total del terreno es de $ 27840 y el costo por metro cuadrado de $ 80 , determinar las dimensiones del terreno.

Answer 1

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

El área del rectángulo se halla multiplicando el largo por el ancho, o lo que es igual, multiplicar el lado menor por el lado mayor.

Primero, planteamos las expresiones de acuerdo a lo mencionado por el ejercicio:

• Lado menor = x
• Lado mayor = 2x + 5

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Como no conocemos el área total del terreno, dato fundamental en este ejercicio, lo tenemos que hallar.

Indica que:

• El costo total del terreno es de $ 27840
• El costo por metro cuadrado de $ 80

Para hallar el área total, dividimos el costo total entre el costo por metro cuadrado.

$ 27 840 ÷ $ 80/m² = 348 m²

▶ El área del terreno es 348 metros cuadrados.

     

Ahora sí, hallamos la medida de "x", multiplicando las expresiones correspondientes a lado menor y mayor, e igualamos a 348, área total:

x(2x + 5) = 348

Resolvemos. Aplicamos propiedad distributiva:

2x² + 5x = 348

Igualamos a 0. Para ello, pasamos 10400 al primer miembro como -10400:

2x² + 5x − 348 = 0

Hallaremos los valores de "x" mediante la fórmula para ecuaciones de segundo grado:

$\mathsf{x_{1,\:2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

En esta ecuación:

$\underbrace{2}x^{2} + \underbrace{5}x \underbrace{-\ 348} = 0\\\mathsf{\ \ a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\ \ \ \ \ \ \ \ c}$

   

Reemplazamos en la fórmula:

$\mathsf{x_{1,\:2}=\dfrac{-5\pm \sqrt{5^2-4(2)(-348)}}{2(2)}}$

$\mathsf{x_{1,\:2}=\dfrac{-5\pm \sqrt{25+2784}}{4}}$

$\mathsf{x_{1,\:2}=\dfrac{-5\pm \sqrt{2809}}{4}}$

$\mathsf{x_{1,\:2}=\dfrac{-5\pm 53}{4}}$

   

Notemos el signo ±. En este punto, separamos y escribimos una expresión con signo +, y la otra con signo −. Así, hallamos las dos raíces (respuestas).

$\mathsf{x_{1}=\dfrac{-5 + 53}{4}}$                $\mathsf{x_{2}=\dfrac{-5 - 53}{4}}$

$\mathsf{x_{1}=\dfrac{48}{4}}$                          $\mathsf{x_{2}=\dfrac{-58}{4}}$

$\boxed{\mathsf{x_{1} = 12}}$                       $\boxed{\mathsf{x_{2} = -14,5}}$

Como estamos hallando una medida de longitud, debemos considerar el valor positivo. Entonces, el lado menor mide 12 metros.

$\large{\boxed{\mathsf{x = 12\ metros}}}$

     

Ahora que conocemos el valor de "x", hallamos la medida del lado mayor:

• Lado menor = x = 12 metros
• Lado mayor = 2x + 5 = 2(12) + 5 = 29 metros

     

Respuesta. El lado menor del terreno mide 12 metros, y el lado mayor mide 29 metros.

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