Question

2,8,27,32,__,...__,...

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Según yo es 52 porque si encuentran las diferencias hasta que dar con un numero igual 2 y 8 dan 6/ 8 y 27 dan 19/ 27 y 32 da 5

Y luego 6 y 19 dan 13 / 19 y 5 dan 14

Y después 13 y 14= 1

Answer 2

SUCESIÓN CÚBICA O DE TERCER ORDEN

Para calcular los términos que siguen en la serie, debemos, primeramente, encontrar el término general.

Primero, hallamos la diferencia entre cada uno de los términos, de manera consecutiva. Así:

2, 8, 27, 32, ...

|----|----|-----|

  6   19   5          ←   Nivel 1

     

Bien, hemos calculado la diferencia de los números 2, 8, 27 y 32 (Nivel 1). Continuamos calculando la diferencia de los números 6, 19 y 5:

2, 8, 27, 32, ...

|----|----|-----|

  6   19    5          ←   Nivel 1

   |----|------|

     13   14         ←   Nivel 2

     

Ahora procedemos a calcular la diferencia de estos nuevos números del Nivel 2:

2, 8, 27, 32, ...

|----|----|-----|

  6   19    5          ←   Nivel 1

   |----|------|

     13   14         ←   Nivel 2

      |-----|

         1         ←   Nivel 3

       

Listo. Hemos realizado tres diferencias consecutivas, tenemos "tres niveles". Por eso, se llama sucesión de tercer orden. Ahora, vamos a aplicar la fórmula general para las sucesiones cúbicas, la cual es:

$\large{\boxed{\mathsf{t_{n} = an^{3} + bn^{2} + cn + d}}}$

  Donde "n" es el número de términos.

       

Ahora, vamos a calcular "a", "b", "c" y "d". Para eso, veamos la sucesión numérica:

a + b + c + d  =     2,   8,   27,  32, ...

                         |----|----|-----|

       7a + 3b + c  =   6    19   5

                                 |-----|------|

              12a + 2b =    13   14

                                     |-----|

                           6a =      1

       

Como vemos, tomamos el primer número de la secuencia original y de cada nivel, y estos se igualan a las expresiones correspondientes a la izquierda. Estas fórmulas siempre se usan en las sucesiones cúbicas:

• a + b + c + d = 2
• 7a + 3b + c = 6
• 12a + 2b = 13
• 6a = 1

       

Hallamos "a" en 6a = 1:

$6a = 1\\\\\boxed{a = \frac{1}{6}}$

       

Ahora que tenemos el valor de "a", lo reemplazamos en la siguiente ecuación 12a + 2b = 13:

$12a + 2b = 13\\\\12\left(\dfrac{1}{6} \right) + 2b = 13\\\\\left(\dfrac{12}{6} \right) + 2b = 13\\\\2 + 2b = 13\\\\2b = 13 - 2\\\\2b = 11\\\\\boxed{b = \dfrac{11}{2}}$

       

Proseguimos y hallamos "c", reemplazando los valores de "a" y "b", que ya conocemos:

$7a + 3b + c = 6\\\\7 \left(\dfrac{1}{6}\right) + 3 \left(\dfrac{11}{2}\right) + c = 6\\\\\dfrac{7}{6} + \dfrac{33}{2} + c = 6\\\\\dfrac{7 + 99}{6} + c = 6\\\\\dfrac{106}{6} + c = 6\\\\c = 6- \dfrac{106}{6}\\\\c = \dfrac{36}{6} - \dfrac{106}{6}\\\\c = -\dfrac{70}{6} = \boxed{-\dfrac{35}{3}}$

       

Finalmente, hallamos "d":

$a + b + c + d = 2\\\\\dfrac{1}{6} + \dfrac{11}{2} + \left(-\dfrac{35}{3}\right) + d = 2\\\\\dfrac{1 + 33 - 70}{6} + d = 2\\\\\dfrac{-36}{6} + d = 2\\\\-6 + d = 2\\\\d = 2 + 6\\\\\boxed{d = 8}$

       

¡Excelente! Ahora que hallamos todos los valores, los reemplazamos en la fórmula general:

$\large{\boxed{\mathsf{t_{n} = an^{3} + bn^{2} + cn + d}}}$

$\mathsf{t_{n} = \dfrac{1}{6}n^{3} + \dfrac{11}{2}n^{2} + \left(- \dfrac{35}{3}n\right) + 8}$

$\mathsf{t_{n} = \dfrac{1}{6}n^{3} + \dfrac{11}{2}n^{2} - \dfrac{35}{3}n + 8}$

Como queremos hallar el siguiente término de la serie (quinto término), "n" se reemplaza por 5:

$\mathsf{t_{n} = \dfrac{1}{6}n^{3} + \dfrac{11}{2}n^{2} - \dfrac{35}{3}n + 8}$

$\mathsf{t_{5} = \dfrac{1}{6}(5)^{3} + \dfrac{11}{2}(5)^{2} - \dfrac{35}{3}(5) + 8}$

Resolvemos:

$\mathsf{t_{5} = \dfrac{1}{6}(125) + \dfrac{11}{2}(25) - \dfrac{175}{3} + 8}$

$\mathsf{t_{5} = \dfrac{125}{6} + \dfrac{275}{2} - \dfrac{175}{3} + 8}$

Calculamos MCM:

$\mathsf{t_{5} = \dfrac{125 + 825 - 350 + 48}{6}}$

$\mathsf{t_{5} = \dfrac{648}{6}}$

$\Large{\boxed{\mathsf{t_{5} = 108}}}$

El quinto término es 108.

       

Ahora, hallamos el término en la posición 100. Solo cambiamos el valor de "n":

$\mathsf{t_{n} = \dfrac{1}{6}n^{3} + \dfrac{11}{2}n^{2} - \dfrac{35}{3}n + 8}$

$\mathsf{t_{100} = \dfrac{1}{6}(100)^{3} + \dfrac{11}{2}(100)^{2} - \dfrac{35}{3}(100) + 8}$

Resolvemos:

$\mathsf{t_{100} = \dfrac{1}{6}(1\ 000\ 000) + \dfrac{11}{2}(10\ 000) - \dfrac{3\ 500}{3} + 8}$

$\mathsf{t_{100} = \dfrac{1\ 000\ 000}{6} + \dfrac{110\ 000}{2} - \dfrac{3\ 500}{3} + 8}$

Calculamos MCM:

$\mathsf{t_{100} = \dfrac{1\ 000\ 000 + 330\ 000 - 7\ 000 + 48}{6}}$

$\mathsf{t_{100} = \dfrac{1\ 323\ 048}{6}}$

$\Large{\boxed{\mathsf{t_{100} = 220\ 508}}}$

       

Respuestas.

▶  El patrón o regla de formación de la sucesión es:

    $\mathsf{t_{n} = \dfrac{1}{6}n^{3} + \dfrac{11}{2}n^{2} - \dfrac{35}{3}n + 8}$

▶  El término que se encontrará en la posición 5 es 108.

▶  El término que se encontrará en la posición 100 es 220 508.