Question

Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6m² de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 euros y el tramo vertical 30 euros.

Rpta x=3 , y=2
Coste: 240

Answer 1

El área:
x*y=6
x=6/y...(1)

El costo se calcula:
Costo(x,y) = 20*2x + 30*2y
Costo(x,y) = 40*x + 60*y...(2)

Reemplazando (1) en (2):
Costo(y) = 40*(6/y) + 60*y
Costo(y) = 240/y + 60*y

Derivando la función e igualando a 0:

Costo'(y) = (240/y + 60*y)' = 0
Costo'(y) = -240/y^2 + 60 = 0

-240/y^2 + 60 = 0
-240 + 60*y^2 = 0
y^2 - 4 = 0
(y + 2)(y - 2)=0

Por lo tanto:
y=2

Reemplazando en (1)

x=6/(2)
x=3

a) Las dimensiones son:

x=3   y   y=2.

b) Costo mínimo del marco:

Reemplazando en la función del costo:

Costo(x,y) = 40*(3) + 60*(2)
Costo(x,y) = 120 + 120
Costo(x,y) = 240