Respuestas
Respuesta:
2. Sucesiones de Cauchy
Daremos primero la definición de una sucesión de Cauchy en los espacios reales
R
k
con la topología usual
T
u
.
Utilizaremos la función módulo
|
|
⋅
|
|
definida como
|
|
x
|
|
=
√
∑
1
≤
i
≤
k
x
2
i
∀
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
k
)
∈
R
k
Definición 1
Una sucesión
{
x
n
}
n
∈
N
⊂
R
k
es de Cauchy si para todo
ε
>
0
, existe un natural
n
0
∈
N
tal que
|
|
x
n
−
x
m
|
|
≤
ε
,
∀
n
,
m
≥
n
0
Interpretación geométrica y ejemplo
Una sucesión es de Cauchy si la diferencia entre cualquier par de términos es tan pequeña como se desee,
ε
, a partir de un determinado término
n
0
-ésimo (
n
0
depende de
ε
).
Biografía de Cauchy y las sucesiones de Cauchy
La sucesión de la imagen es
{
1
/
n
}
n
∈
N
⊂
R
Demostración de que la sucesión es de Cauchy:
Dado
ε
>
0
, sea
n
0
∈
N
tal que
1
/
ε
≤
n
0
. Se cumple que
1
n
≤
ε
,
∀
n
≤
n
0
Sean
n
,
m
>
n
0
, siendo
m
>
n
entonces
|
x
n
−
x
m
|
=
∣
∣
∣
1
n
−
1
m
∣
∣
∣
≤
∣
∣
∣
1
n
∣
∣
∣
=
=
1
n
≤
ε
Definición 2
Sea
(
X
,
d
)
un espacio métrico. Una sucesión
{
x
n
}
n
∈
N
⊂
X
es de Cauchy si para todo
ε
>
0
, existe un natural
n
0
∈
N
tal que
d
(
x
n
,
x
m
)
≤
ε
,
∀
n
,
m
≥
n
0
Teorema 1
En un espacio métrico
(
X
,
d
)
, toda sucesión
{
x
n
}
n
∈
N
convergente es una sucesión de Cauchy.
Ver Demostración
Definición 3
Un espacio métrico
(
X
,
d
)
es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.
Por tanto, en los espacios métrico completos, una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy.
Ejemplos:
El espacio métrico de los reales es completo con la distancia usual, con la distancia del máximo y con la distancia de Manhattan.
Todo espacio métrico compacto es completo.
Todo espacio métrico discreto es completo.
Explicación paso a paso: