Question

un lanzador,dispara pelotas hacia una pared que posee un agujero a una altura de 4 m. si la pared se encuentra a 10m del lanzador,encuentre los valores maximos y minimos del angulo y la velocidad de lanzamiento para que las pelotas alcancen el agujero

Answer 1

La velocidad de lanzamiento mínima para embocar en el agujero es de 8,86 metros por segundo y para ella el ángulo de lanzamiento es de 38,7°.

Explicación:

En el lanzamiento oblicuo las pelotas pueden embocar en el agujero durante el ascenso o durante el descenso. Si la altura desde que son lanzadas las pelotas es 0, las ecuaciones de movimiento son:

$x=v_0.cos(\theta).t$

$y=v_0.sen(\theta).t-\frac{1}{2}.g.t^2$

De la primera ecuación despejamos el tiempo:

$t=\frac{x}{v_0.cos(\theta)}$

Y la reemplazamos en la segunda ecuación:

$y=v_0.sen(\theta).\frac{x}{v_0.cos(\theta)}-\frac{1}{2}.g.(\frac{x}{v_0.cos(\theta)})^2\\\\y=x.tan(\theta)-\frac{g}{2v_0^2.cos^2(\theta)}.x^2$

La velocidad de lanzamiento tiene que ser tal que la altura máxima sea superior a 4 metros que es la altura del agujero, la componente vertical de esta es:

$mgz=\frac{1}{2}mv^2\\\\gz=\frac{1}{2}v^2\\\\v_y=\sqrt{2gz}=\sqrt{2.9,81\frac{m}{s^2}.4m}=8,86\frac{m}{s}$

Los ángulos mínimo y máximo dependen de la velocidad de lanzamiento, para este valor, el agujero estará en el punto álgido por lo que hay un solo valor, que es el vértice de la trayectoria:

$x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{tan(\theta)}{-2\frac{g}{2v_0^2.cos^2(\theta)}}\\\\x_v=\frac{v_0^2.sen(\theta).cos(\theta)}{g}\\\\sen(\theta).cos(\theta)=\frac{x_v.g}{v_0^2}\\\\v_y=v_0.sen(\theta)=>sen(\theta).cos(\theta)=\frac{x_v.g}{\frac{v_y^2}{sen^2(\theta)}}\\\\cos(\theta)=\frac{x_v.g}{v_y^2}.sen(\theta)=\frac{x_v.g}{2gz}.sen(\theta)=\frac{x_v}{2z}sen(\theta)$

De aquí despejamos el ángulo:

$\frac{2z}{x_v}=tan(\theta)\\\\\theta=tan^{-1}(\frac{2z}{x_v})=tan^{-1}(\frac{2.4}{10})=38,7\°.$