Question

Un auto de juguete de 1,0 kg se mueve a razón de 3 rpm describiendo una circunferencia de 2,0 m de radio. Calcular el momento angular del auto.

Answer 1

El momento angular del auto es:

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \frac{2\ \pi }{ 5} \ \ kg \ . \ m^{2} \ . \ s^{-1} }}$

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} \approx 1,256637 \ \ kg \ . \ m^{2} \ . \ s^{-1} }}$

El momento angular o cantidad de movimiento angular:

Se trata de una magnitud vectorial que caracteriza la rotación de una partícula puntual o un objeto extendido alrededor de un eje que pasa por un punto.

NOS REFERIMOS A DINÁMICA DE ROTACIÓN

Si un cuerpo se encuentra en rotación su tendencia será la de seguir girando con un MCU. Con lo cual podemos establecer una comparación con el movimiento lineal donde si un cuerpo se desplaza linealmente tenderá a mantener un MRU.

A esta magnitud la llamamos momento angular o cinético

Por lo tanto se define el momento angular o cinético de una partícula material respecto a un punto O como el momento de su cantidad de movimiento, es decir, el producto vectorial de su vector de posición por la cantidad de movimiento del cuerpo también llamado su momento lineal

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \overrightarrow { r} \ . \ \overrightarrow { P} } }$

$\bold {\overrightarrow { L} } \large \textsf{ Momento Angular o Cin\'etico del cuerpo }$

$\bold {\overrightarrow { r} } \large \textsf{ Vector de Posici\'on del cuerpo respecto al punto O }$

$\bold {\overrightarrow { P } } \large \textsf{ Cantidad de Movimiento del cuerpo, o llamado Momento Lineal }$

La cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { P} = m \ . \ \overrightarrow { V} } }$

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \overrightarrow { r} \ . \ m \ . \ \overrightarrow { V} } }$

Luego debemos considerar que el cuerpo de masa m y velocidad V está girando en torno a un eje que se encuentra a una distancia r.

Donde debemos considerar el ángulo entre los vectores r y V

Dado que la partícula se mueve describiendo una circunferencia este ángulo es de 90º, puesto que la velocidad siempre es tangente a la circunferencia y por lo tanto es perpendicular al radio

Resultando en:

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \overrightarrow { r} \ . \ m \ . \ \overrightarrow { V} \ . \ sen \ \alpha }}$

Se caracteriza

El módulo es proporcional a la distancia r, al momento lineal del cuerpo, y al seno del ángulo que forman ambos

La dirección es perpendicular al plano conformado por los vectores r y V

El sentido está determinado por la regla de la mano derecha, girando desde el vector r hasta el vector V coincidiendo en su origen. Siendo el giro antihorario. Por tanto el momento angular está dirigido hacia arriba. Si el giro fuese horario estará dirigido hacia abajo

Solución

Determinamos la velocidad angular

El auto de juguete gira a 3 revoluciones por minuto y una circunferencia completa equivale a 2 π radianes

$\boxed {\bold { \omega = \frac {N^o \ de \ revoluciones \ . \ 2 \ \pi }{ t } }}$

$\boxed {\bold { \omega = \frac {3 \ rev \ . 2 \ \pi }{ 1 \ minuto } }}$

Sabiendo que en 1 minuto hay 60 segundos

$\boxed {\bold { \omega= \frac {3 \ rev \ . \ 2 \ \pi }{ 60 \ segundos } }}$

$\boxed {\bold { \omega= \frac {6 \ \pi }{ 60 \ segundos } }}$

$\large\boxed {\bold { \omega= \frac{ \pi } {10} \ rad \ . \ s^{-1} }}$

Hallamos el momento angular

El auto de juguete tiene momento angular dado que gira a una distancia del eje de giro que equivale al radio del plano

El momento angular es perpendicular al plano y su sentido es antihorario

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \overrightarrow { r} \ . m \ . \ \overrightarrow { V} \ . \ sen \ \alpha }}$

La relación de la velocidad lineal con la velocidad angular es

$\boxed {\bold { V = \omega \ . \ r}}$

Reemplazando

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = r \ . \ m \ . \ \omega \ . \ r \ . \ sen \ \alpha }}$

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = r^{2} \ . \ m \ . \ \omega \ . \ sen \ \alpha }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = (2 \ m )^{2} \ . \ 1 \ kg \ . \ \ \frac{\pi }{10} \ rad \ . \ s^{-1} \ . \ sen \ \ 90\° }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = 4 \ m ^{2} \ . \ 1 \ kg \ . \ \ \frac{\pi }{10} \ rad \ . \ s^{-1} \ . \ 1 }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = 4 \ m ^{2} \ . \ 1 \ kg \ . \ \ \frac{\pi }{10} \ rad \ . \ s^{-1} }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = 2 \ (2) \ m ^{2} \ . \ 1 \ kg \ . \ \ \frac{\pi }{2 \ . \ 5} \ rad \ . \ s^{-1} }}$

$\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = 2 \ m ^{2} \ . \ 1 \ kg \ . \ \ \frac{\pi }{ 5} \ rad \ . \ s^{-1} }}$

Forma exacta

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} = \frac{2\ \pi }{ 5} \ \ kg \ . \ m^{2} \ . \ s^{-1} }}$

Forma decimal

$\large\boxed{\bold { \overrightarrow { L} \approx 1,256637 \ \ kg \ . \ m^{2} \ . \ s^{-1} }}$

Ve un ejercicio similar:

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