Tres trabajadores recolectan 100 manzanas en 5horas. Uno de ellos has sufrido un accidente y no puede continuar.
- Calcular cuánto se tardarán en recolectar las 300 manzanas restantes entre los dos trabajadores activos.
- Y que tipo de proporción es inversa ,directa o reparto.
Respuestas
Proporcionalidad directa:
Dos magnitudes
a
y
b
son directamente proporcionales cuando existe una constante
k
tal que
a
b
=
k
La constante
k
se denomina constante de proporcionalidad o razón.
Se dice que
a
y
b
mantienen una relación de proporcionalidad directa.
En este tipo de proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra también; y lo mismo ocurre cuando alguna de las dos disminuye.
Ejemplo:
En un movimiento con velocidad constante
v
, la distancia recorrida viene dada por la ecuación
d
i
s
t
a
n
c
i
a
=
v
⋅
t
i
e
m
p
o
La distancia es directamente proporcional al tiempo puesto que
d
i
s
t
a
n
c
i
a
t
i
e
m
p
o
=
v
En este ejemplo, la velocidad es la constante de proporcionalidad.
Cuando el tiempo aumenta, la distancia también lo hace y viceversa.
Regla de tres (directa)
Si dos magnitudes
a
y
b
mantienen una relación de proporcionalidad directa, una regla de tres simple directa (o simplemente regla de tres directa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.
Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:
+
Valor
Valor
Magnitud
a
a
1
a
2
Magnitud
b
b
1
b
2
Como la relación de proporcionalidad directa debe ser constante, ha de cumplirse que
a
1
b
1
=
a
2
b
2
De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.
Proporcionalidad inversa:
Dos magnitudes
a
y
b
son inversamente proporcionales cuando existe una constante
k
tal que
a
⋅
b
=
k
La constante
k
se denomina constante de proporcionalidad.
En esta proporcionalidad, cuando una de las magnitudes aumenta, la otra disminuye y viceversa.
Ejemplo:
Si un trabajador pinta una valla en 10 horas, entonces para pintar la misma valla entre dos trabajadores se necesitan 5 horas.
Se trata de una proporcionalidad inversa puesto que cuando aumenta el número de trabajadores, el número de horas necesarias disminuye. La constante de proporcionalidad es 10 porque
1
⋅
10
=
10
=
2
⋅
5
Es decir, si
a
es el número de trabajadores y
b
el número de horas, entonces
a
⋅
b
=
10
Regla de tres (inversa)
Cuando dos magnitudes
a
y
b
mantienen una relación de proporcionalidad inversa, una regla de tres simple inversa (o simplemente regla de tres inversa) nos permite conocer el valor de una de las dos magnitudes cuando la otra varía.
Para aplicar una regla de tres, escribimos la siguiente tabla:
-
Valor
Valor
Magnitud
a
a
1
a
2
Magnitud
b
b
1
b
2
Como la relación de proporcionalidad indirecta debe ser constante, se cumple que
a
1
⋅
b
1
=
a
2
⋅
b
2
De esta relación podemos despejar el valor que deseamos calcular.
Nota: en ocasiones se utilizan los signos (+) y (-) en las tablas escritas anteriormente para denotar que se trata de una proporcionalidad directa e indirecta, respectivamente.