Question

Me podrían ayudar con este problema de antemano gracias

Answer 1

Respuesta: Lim (x→0) [(x² + 2cosx - 2)/x^4]  = 1/12

Explicación paso a paso:

La variable  x  tiende a cero. Y al evaluar inicialmente el límite , este es indeterminado de la forma 0 / 0.

Entonces, se puede aplicar la Regla de L'hopital.

*  Lim (x→0) [(x² + 2cosx - 2)/x^4]  = Lim (x→0) [ (2x - 2senx)/4x³ ]

                                                       = Lim (x→0) [(x - senx)/2x³]

Se puede seguir aplicando la Regla de L'Hopital, entonces:

**  Lim (x→0) [(x - senx)/2x³]  =  Lim (x→0) [ (1 - cosx)/6x² ]  =  0/0

Y al aplicar otra vez la misma Regla de L'Hopital:

***  Lim (x→0) [ (1 - cosx)/6x² ]  =  Lim (x→0) [ ( sen x )/12x ] = 0/0

Al aplicarla por última vez, resulta:

****  Lim (x→0) [ ( sen x )/12x ]  =  Lim (x→0) [ cosx / 12 ]

                                            =   cos (0) / 12

                                            =   1 / 12