7.- ¿Cree usted que en una relación matemática se puede definir si esinyectiva, sobreyectiva o biyectiva? ¿Por qué?
Respuestas
En matemáticas, inyecciones, sobreyecciones y biyecciones son clases de funciones que se distinguen por la forma en que sus argumentos (expresiones del dominio de entrada) e imágenes (expresiones de salida del codominio) están relacionadas o aplicadas entre sí.
Una función aplica elementos de su dominio a elementos en su codominio. Dada una función {\displaystyle f:\;X\to Y}{\displaystyle f:\;X\to Y}
La función es inyectiva (uno-a-uno) si cada elemento del codominio es aplicado por a lo sumo un elemento del dominio. Una función inyectiva es
una inyección. Notablemente:
{\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.}{\displaystyle \forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'.}
O, de manera equivalente (utilizando una trasposición lógica),
{\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x').}{\displaystyle \forall x,x'\in X,x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x').}
La función es sobreyectiva (en) si cada elemento del codominio es aplicado por al menos un elemento del dominio. (Es decir, la imagen y el codominio de la función son iguales). Una función sobreyectiva es una sobreyección. Notablemente:
{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ tal que }}y=f(x).}{\displaystyle \forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ tal que }}y=f(x).}
La función es biyectiva (uno-a-uno y en o con correspondencia uno a uno) si cada elemento del codominio es aplicado por exactamente un elemento del dominio. (Es decir, la función es tanto inyectiva como sobreyectiva). Una función biyectiva es una biyección.
Una función inyectiva no necesita ser sobreyectiva (no todos los elementos del codominio pueden estar asociados con argumentos), y una función sobreyectiva no necesita ser inyectiva (algunas imágenes pueden estar asociadas con más de un argumento). Las cuatro combinaciones posibles de características inyectivas y sobreyectivas se ilustran en los diagramas de la derecha.