Question

Hola me ayudan:La funcion f(x) = ax˄3 + bx˄2 + cx + d tiene un máximo relativo en x=1 y un punto de inflexión en (0,0). Ademas la integral ∫_0^1 f(x) =5/4. ¿Calcule el valor de a, b, c y d?

Answer 1

Tienes lo siguiente:
1) f(x) tiene un máximo relativo en x=1
Para calcular un máximo debes calcular la primera derivada e igualar a cero:$f'(x)=3ax^2+2bx+c=0 \\ f'(1)=3a(1)+b(1)+c=3a+2b+c=0$:

2) Tiene un punto de inflexión en (0,0):
Hay un punto de inflexión cuando la tercera derivada es diferente de cero:
$f'''(x)=6a \neq 0\to a \neq 0$

Además calculas las raíces de la segunda derivada para saber dónde hay puntos de inflexión:
$f''(x)=6ax+2b=0 \\ x=- \frac{2b}{6a} =- \frac{b}{3a}=0 \\ -b=3a(0)=0\to \boxed{b=0} \\ \\ f(x)=ax^3+cx+d\\f(0)=a(0)^3+c(0)+d=0\to \boxed{d=0} \\ \\ De\ 1)\ 3a+2b+c=0=3a+c\\\boxed {a=- \frac{c}{3} }$

3)La integral ∫_0^1 f(x) =5/4:
$f(x)=ax^3+cx \\ \int\limits^1_0 {ax^3+cx} \, dx =[ \frac{ax^4}{4}+ \frac{cx^2}{2} ]^1_0= \frac{a}{4} + \frac{c}{2} = \frac{5}{4} \\ \\ \frac{(- \frac{c}{3} )}{4}+ \frac{c}{2}= \frac{5}{4}=- \frac{c}{12}+ \frac{6c}{12}= \frac{5c}{12} \\ c=( \frac{5}{4} )( \frac{12}{5} )=\boxed{3=c} \\ a=- \frac{c}{3}=- \frac{3}{3}=\boxed{-1=a}$

a = -1 ; b = 0 ; c = 3 ; d = 0

Saludos!