Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Objetivos de aprendizaje
Identificar el número de soluciones de ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas por el método gráfico.
Encontrar o aproximar los ceros de funciones cuadráticas.
Analizar funciones cuadráticas usando una calculadora graficadora.
Resolver problemas del mundo real graficando funciones cuadráticas.
Introducción
En la última sección aprendimos a graficar funciones cuadráticas. Observamos que al encontrar los intersectos en x− de una parábola es importante porque estos nos dicen dónde la gráfica intercepta el eje de las x− y esto nos permite encontrar el vértice de la parábola. Cuando se nos pide encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática en la forma ax2+bx+c=0, básicamente se nos pide encontrar los intersectos en x− de la función cuadrática.
Encontrar los intersectos en x− de una parábola también significa encontrar las raíces o ceros de la función.
Identificación del número de soluciones para ecuaciones cuadráticas
La gráfica de una ecuación cuadrática es muy útil para identificar cuántas soluciones y qué tipos de soluciones tiene una función. Hay tres diferentes situaciones que ocurren cuando se grafica una función cuadrática.
Caso 1 La parábola intercepta el eje de las x− en dos puntos.
Un ejemplo de este caso es y=x2+x−6.
Podemos encontrar las soluciones a la ecuación x2+x−6=0 haciendo y=0. Resolvemos la ecuación factorando: (x+3)(x−2)=0, así x=−3 o x=2.
Otra forma de encontrar las soluciones es graficar la función y obtener los intersectos en x− a partir de la misma. Vemos que la parábola intercepta el eje de las x− en x=−3 y x=2.
Cuando la gráfica de una función cuadrática intercepta el eje x en dos puntos, obtenemos dos soluciones distintas para la ecuación cuadrática.
Caso 2 La parábola toca el eje x− en un punto.
Un ejemplo de este caso es y=x2−2x+1.
Podemos resolver esta ecuación factorando. Si hacemos y=0 y factoramos, obtnemos:(x−1)2, así que x=1.
Ya que la función cuadrática es un cuadrado perfecto, obtuvimos una única solución para la ecuación.
Aquí podemos observar cómo luce la gráfica de esta función. Vemos que la gráfica toca el eje x− en el punto x=1.
Cuando la gráfica de una función cuadrática toca el eje x− en un punto, la ecuación cuadrática tiene una solución y es llamada una doble raíz.
Caos 3 La parábola no intersecta o no toca el eje x−.
Un ejemplo de este caso es y=x2+4. Si hacemos y=0, obtenemos x2+4=0. Este polinomio cuadrático no se puede factorar y la ecuación x2=−4 no tiene soluciones reales. Cuando observamos la gráfica de esta función, vemos que la parábola no intercepta o no toca el eje x−.
Cuando la gráfica de una función cuadrática no intercepta o no toca el eje x−axis, la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales.
Solución de ecuaciones cuadráticas usando gráficas
Hasta ahora hemos encontrado soluciones de ecuaciones factorando. Sin embargo, hay solo algunas funciones en la vida real que no se pueden factorar fácilmente. Como hemos observado la gráfica de una función da bastante información sobre las soluciones. Encontramos soluciones exactas o aproximadas de ecuaciones cuadráticas graficando las funciones asociadas a estas.