Question

Una rueda parte del reposo y tiene aceleración angular constante de 2,00
rad/s2. Después de 8,00 s:

a) ¿Cuál es su velocidad angular?
b) ¿Qué ángulo habrá girado la rueda?
c) ¿Cuántas revoluciones habrá dado?
d) ¿Cuál es la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,400 m del
eje de rotación?

Answer 1

a) La velocidad angular es de 16 rad/s

b) La rueda giró 64 radianes

c) La rueda dio 10,1859 revoluciones

d) Para un punto situado a 0,4 metros del eje de rotación la velocidad es de 4 m/s y la aceleración de 102,4 m/s²

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

El desplazamiento de la partícula es más veloz o más lento según transcurre el tiempo.  

Si la velocidad angular aumenta, la aceleración angular será positiva, donde tendríamos un caso de movimiento circular uniformemente acelerado. Por el contrario  si la velocidad angular disminuye, la aceleración  angular será negativa, y sería un caso de movimiento circular uniformemente retardado

Solución

a) Hallamos la velocidad angular

Empleando la ecuación:

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

Donde      

$\textsf{Velocidad angular } \ \ \ \bold { \omega }$

$\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 0 }$

$\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 2 \ rad/s^{2} }$

$\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 8 \ s }$

Como la rueda parte del reposo su velocidad angular inicial es igual a cero  $\bold { \omega_{0} = 0 }$

$\large\boxed{\bold{\omega=\omega_{0} \ + \ \alpha \ . \ t }}$

La ecuación se reduce a:

$\large\boxed{\bold{\omega= \ \alpha \ . \ t }}$

$\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

Tomando un tiempo de 8 segundos

$\boxed{\bold{\omega= \ 2 \ rad/s^{2} \ . \ 8 \ s }}$

$\large\boxed{\bold{\omega= \ 16 \ rad/s }}$

b) Hallamos el desplazamiento angular

Empleando la ecuación:

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0t}+ \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

Donde      

$\textsf{Desplazamiento angular } \ \ \ \bold { \theta }$

$\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 0 }$

$\textsf{Aceleraci\'on } \ \ \ \bold { \alpha = 2 \ rad/s^{2} }$

$\textsf{Tiempo } \ \ \ \bold { t = 8 \ s }$    

Como la rueda parte del reposo su velocidad angular inicial es igual a cero  $\bold { \omega_{0} = 0 }$

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0t}+ \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

La ecuación se reduce a:

$\large\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \alpha \ t^{2} }}$

$\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

Tomando un tiempo de 8 segundos

$\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ (2 \ rad/s^{2}) \ . \ (8 \ s) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ (2 \ rad/s^{2}) \ . \ (64 \ s) ^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \frac{1}{2} \ 128 \ rad }}$

$\large\boxed {\bold { \theta = 64 \ rad }}$

c) Determinamos la cantidad de revoluciones

Convertimos los radianes hallados en el inciso anterior a revoluciones

Dado que una circunferencia equivale a 2π radianes

$\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = \frac{64 \ rad }{2 \ \pi } }}$

$\large\boxed {\bold { Cantidad \ Revoluciones = 10,1859 }}$

d) Determinamos la velocidad y la aceleración de un punto situado a 0,4 metros del eje de rotación

1) Velocidad      

La relación entre la velocidad angular y lineal está dada por:

$\large\boxed{\bold{ V = \omega \ . \ r }}$

$\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{\bold{ V = \ 16 \ rad/s\ . \ 0,4 \ m }}$

$\large\boxed{\bold{ V = \ 4 \ m/s\ }}$

2) Aceleración

En un movimiento circular se tiene una aceleración tangencial a la circunferencia la cual es la aceleración tangencial y otra aceleración dirigida hacia el centro de la trayectoria, llamada aceleración centrípeta.

Luego tendremos una aceleración resultante de ambas aceleraciones

Planteamos:

$\large\boxed {\bold { a = \sqrt{ \ (a_{T})^{2} +( a_{C})^{2} } }}$

Para la aceleración tangencial

La aceleración tangencial depende de la aceleración angular

$\bold { a_{T } = \alpha \ r }$

Para la aceleración centrípeta

La hallamos por medio de la relación

$\bold { a_{C } = \omega^{2} \ r }$

$\large\boxed {\bold { a = \sqrt{ \ (a_{T})^{2} +( a_{C})^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = \sqrt{ \ (\alpha \ r)^{2} +( \omega^{2} \ r )^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = r \ \sqrt{ \ (\alpha )^{2} +( \omega^{2} \ )^{2} } }}$

$\large\boxed {\bold { a = r \ \sqrt{ \ \alpha ^{2} + \omega^{4} } }}$

$\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\textsf{Quitamos unidades para el c\'alculo }$

$\boxed {\bold { a = (0,4) \ \sqrt{ \ (2) ^{2} + \ (16)^{4} } } }$

$\boxed {\bold { a = (0,4) \ \sqrt{ \ 4+ \ 65536 } }}$

$\boxed {\bold { a = (0,4) \ \sqrt{ 65540 } }}$

$\boxed {\bold { a = (0,4) \ . \ 256,007 }}$

$\boxed {\bold { a = (0,4) \ . \ 256 }}$

$\large\boxed {\bold { a = 102,4 \ m/s^{2} }}$