Question

Calcula la ecuación explicita de la recta que pasa por el punto A (4,3) y es perpendicular a la recta: 3x+y-5=0.

Answer 1

La recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (4,3) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} }}$

Solución

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { 3x +y - 5= 0 }}$

Reescribimos la ecuación en la forma de la ecuación general de la recta

$\large\textsf{Escribimos en la forma de la ecuaci\'on general de la recta }$

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\boxed {\bold { 3x +y - 5= 0 }}$

$\boxed {\bold { y - 5 = -3x }}$

$\large\boxed {\bold { y =-3x +5 }}$

Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como $\bold { m_{1} }$

$\large\boxed {\bold { m_{1} = -3 }}$

La pendiente de la recta dada es -3

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular $\bold { m_{2} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m_{1} }$

$\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}$

Reemplazamos valores y resolvemos

$\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -3 } }}$

$\large\boxed{\bold {m_{2} = \frac{1}{3} }}$

La pendiente de una recta perpendicular a la dada es 1/3

Hallamos la recta perpendicular a la dada que pase por el punto A (4,3)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{3} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (4,3) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (3) = \frac{1}{3} \ (x - (4) )}}$

$\boxed {\bold { y - 3 = \frac{1}{3} \ (x - 4 )}}$

Resolvemos para y

$\large\textsf{Escribimos en la forma de la ecuaci\'on general de la recta }$

Dado que la ecuación explícita de la recta responde a la forma

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

$\boxed {\bold { y - 3 = \frac{1}{3} \ (x - 4 )}}$

$\boxed {\bold { y - 3 = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 3 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 3 \ . \ \frac{3}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \ \frac{3 \ . \ 3}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \ \frac{9}{3} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3} }}$

$\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} }}$

Habiendo hallado la recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (4,3)        

Siendo las dos rectas perpendiculares