Question

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1;-4) y (5;2) y que tiene su centro en la recta x-2y+9=0

Answer 1

Centro es igual punto medio C=( x1+x2/2,y1+y2/2) C=(1+5/2,-4+2/2) C=(3,-2) Ecuación del radio (X-h)^2+(y-k)^2=r^2 R^2=(1-3)^2+(-4+2)^2; R^2=(-2)^2+(-2)^2; R^2= 4+4 R^2= 8 Ecuación de la circunferencia (X-3)^2+(y+2)^2=8 X^2-6x+9+y^2+4y+4-8=0 X^2+y^2-6x+4y+5=0

Answer 2

La forma ordinaria de la ecuación es:

(x - h)² + (y - k)² = r²

Pasa por (1, - 4): (1 - h)² + (- 4 - k)² = r²

Pasa por (5, 2): (5 - h)² + (2 - k)² = r²

Son iguales: (1 - h)² + (- 4 - k)² = (5 - h)² + (2 - k)² ; quitamos paréntesis:

- 2 h + 1 + 8 k + 16 = - 10 h + 25 - 4 k + 4; o bien

8 h + 12 k - 12 = 0 (1)

El centro pertenece a la recta

h - 2 k + 9 = 0 (2)

Entre (1) y (2) hay un sistema lineal: resolviendo: h = - 3; k = 3

Reemplazando (1 + 3)² + (- 4 - 3)² = 65 = r²; la ecuación es entonces:

(x + 3)² + (y - 3)² = 65

Adjunto gráfico con circunferencia, centro, puntos y recta

Saludos Herminio