Question

Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
$y = \frac{ \times - 1}{ \times + 1}$
que sean paralelas a la recta x-2y=2​

Answer 1

La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es igual a la derivada de la función en dicho punto.

La pendiente de la recta es:

2 y = x - 2; y = x/2 - 1; luego m = 1/2

Derivamos la función: (supongo que sabes derivar)

y' = [(x + 1) - (x - 1)] / (x + 1)² = 2 / (x + 1)²

y' = m = 1/2 = 2 / (x + 1)²

(x + 1)² = 4

Resulta x = - 3; x = 1

Para x = - 3; y = (- 3 - 1) / (- 3 + 1) = 2

Para x = 1; y = (1 - 1) / (1 + 1) = 0

Puntos de tangencia: P(- 3, 2); P'(1, 0)

Rectas tangentes:

y = 1/2 x + b; hallamos b de modo que pase por los puntos de tangencia.

x = - 3; 2 = - 3/2 + b; b = 7/2

x = 1; 0 = 1/2 + b; b = - 1/2

Respuestas:

y = 1/2 x + 7/2

y = 1/2 x - 1/2

Se adjunta gráfico con la función, la recta dada y las rectas tangentes.