Question

como se resuelve esta integral por fa:
En el siguiente ejercicio, se da una región D y una función f(x ; y).
Dibuje y calcule $\int \int$f(x,y)dA

a) D es la región encerrada por y =$x^{2}$, y =1-$x^{2}$, f(x; y) =$x \sqrt{y}$.

Answer 1

1) hallemos las abscisas de la intersección entre las parábolas 
 
                                 $x^2=1-x^2\\ \\ 2x^2=1\\ \\ x^2=\dfrac{1}{2}\\ \\ \boxed{x=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2}}}$

2) la curva $y=x^2$ está debajo de la curva $y=1-x^2$ en el intervalo $\left[ -\sqrt{1/2}\;,\;\sqrt{1/2}\right]$

Por ende tenemos el conjunto que representa a la región D

       $D=\left\{(x,y):-\sqrt{1/2}\leq x\leq \sqrt{1/2}\;,\; x^2\leq y\leq 1-x^2\right\}$

Así se tiene

                                    $\displaystyle \iint_Dx\sqrt{y}\,dx\,dy=\int\limits_{-\sqrt{1/2}}^{\sqrt{1/2}}\int\limits_{x^2}^{1-x^2}x\sqrt{y}\, dy\,dx\\ \\ \\ \iint_Dx\sqrt{y}\,dx\,dy=0$