Question

Un joven está sentado en la parte superior de un montículo de hielo. Se da a sí mismo un pequeño impulso y comienza a deslizarse hacia abajo. Demuestre que abandona el hielo en el punto cuya altura es
2R/3 si el hielo carece de fricción. (Sugerencia: La fuerza normal se anula cuando el joven abandona en hielo).

Answer 1

Supongamos el montículo de hielo como un cuerpo esférico.

• Para el punto más alto del montículo la energía mecánica del joven va a ser puramente potencial gravitacional. (PUNTO A)
• Para el instante en que comience a deslizarse su energía mecánica será la suma de la energía potencial gravitacional debido a la altura en ese instante más su velocidad en ese momento. (PUNTO B)

Debido a que no existe fricción la energía mecánica se conserva, por tanto, en los dos instantes mencionados la energía mecánica es la misma:

$Em_A = Em_B\\ \not{m}gR = \not{m}gh_B + \dfrac{\not{m}v^2}{2}$

$gR = gh_B + \dfrac{v^2}{2}$

La fuerza centrípeta que permite al joven moverse con una trayectoria circular es la componente de su peso en la dirección del movimiento, y esta, por la segunda ley de Newton está dada por la masa por la aceleración centrípeta:

$P_x = ma_c$

Pero la aceleración centrípeta es la masa por la velocidad al cuadrado entre el radio, por tanto:

$\not{m}g\sin \theta = \not{m} \dfrac{v^2}{R}$

De la definición del seno, su valor es el cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa, por tanto:  

$\sin \theta = \dfrac{h_B}{R}$

Y entonces:

$g\dfrac{h_B}{R} = \dfrac{v^2}{R}$

$v^2 = gh_B$

Sustituimos v² en la primera expresión obtenida:

$gR = gh_B + \dfrac{v^2}{2}\\\not{g}R = \not{g}h_B + \dfrac{\not{g}h_B}{2}$

$R = \dfrac{3}{2}h_B$

$\boxed{h_B = \dfrac{2R}{3}}$