4. Se desea construir una caja rectangular con tapa de volumen 288 centmetros cubicos
y largo de su base el triple de su ancho. ¿Cual es el area supercial minima posible
de dicha caja?
Respuestas
Respuesta dada por:
4
Ancho: x
Largo: 3x
Alto: y
![V=x*3x*y=288 \\ 3x^2y=288 \\ x^2y=96 \\ y= \frac{96}{x^2} V=x*3x*y=288 \\ 3x^2y=288 \\ x^2y=96 \\ y= \frac{96}{x^2}](https://tex.z-dn.net/?f=V%3Dx%2A3x%2Ay%3D288+%5C%5C+3x%5E2y%3D288+%5C%5C+x%5E2y%3D96+%5C%5C+y%3D+%5Cfrac%7B96%7D%7Bx%5E2%7D+)
![A=2*x*3x+2*x*y+2*3x*y \\ \\ A=6x^2+8xy A=2*x*3x+2*x*y+2*3x*y \\ \\ A=6x^2+8xy](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D2%2Ax%2A3x%2B2%2Ax%2Ay%2B2%2A3x%2Ay+%5C%5C++%5C%5C+A%3D6x%5E2%2B8xy)
![A=6x^2+8x(\frac{96}{x^2} ) \\ \\ A=6x^2+ \frac{768}{x} A=6x^2+8x(\frac{96}{x^2} ) \\ \\ A=6x^2+ \frac{768}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=A%3D6x%5E2%2B8x%28%5Cfrac%7B96%7D%7Bx%5E2%7D+%29+%5C%5C++%5C%5C+A%3D6x%5E2%2B+%5Cfrac%7B768%7D%7Bx%7D+)
Ahora debemos derivar A e igualarlo a 0 para encontrar el mínimo:
![A'=12x- \frac{768}{x^2} =0 \\ \\ 12x= \frac{768}{x^2} \\ \\ 12x^3=768 \\ \\ x= \sqrt[3]{ \frac{768}{12} } \\ \\ x=4 A'=12x- \frac{768}{x^2} =0 \\ \\ 12x= \frac{768}{x^2} \\ \\ 12x^3=768 \\ \\ x= \sqrt[3]{ \frac{768}{12} } \\ \\ x=4](https://tex.z-dn.net/?f=A%27%3D12x-+%5Cfrac%7B768%7D%7Bx%5E2%7D+%3D0+%5C%5C++%5C%5C+12x%3D+%5Cfrac%7B768%7D%7Bx%5E2%7D+%5C%5C++%5C%5C+12x%5E3%3D768+%5C%5C++%5C%5C+x%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7B+%5Cfrac%7B768%7D%7B12%7D+%7D++%5C%5C++%5C%5C+x%3D4)
Ancho: 4cm
Largo: 12cm
Alto: 6cm
Largo: 3x
Alto: y
Ahora debemos derivar A e igualarlo a 0 para encontrar el mínimo:
Ancho: 4cm
Largo: 12cm
Alto: 6cm
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