Question

SAVU
2.-.-Una cancha esta en un terreno rectangular y su largo es el doble mas 8 metros
que su ancho si se sabe que el área del total del terreno es de 5194 metros cuadrados
¿Cuánto mide cada lado del terreno?​

Answer 1

El largo del terreno es de 106 metros y el ancho de 49 metros

Solución

Se desea hallar los lados de un terreno rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide el doble más 8 metros más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x }$

y sabiendo que el largo es el doble más 8 metros mayor que el ancho será (2x+8)

$\large\textsf{Largo = (2x + 8) }$

Conocemos el valor del área del terreno rectangular que es de 5194 m²

$\large\textsf{\'Area = 5194 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\textsf{Quitamos unidades para facilitaci\'on }$

$\boxed {\bold { 5194= (2x+8) \ . \ x }}$

$\boxed {\bold { (2x+8) \ . \ x = 5194 }}$

$\boxed {\bold { 2x \ . \ x \ +\ 8x = 5194 }}$

$\boxed {\bold { 2x^{2} \ + \ 8x = 5194 }}$

$\boxed {\bold { 2x^{2} \ +\ 8x - 5194 = 0 }}$

$\textsf{Simplificamos }$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 4x - 2597 = 0 }}$

$\large\textsf{Tenemos una ecuaci\'on de segundo grado }$

La cual se puede resolver para x

a) Por factorización

$\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 4x - 2597 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -2597 y la suma es 4 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -49 , \ 53 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -49 ) (x+53) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -49 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 49 }}$

$\boxed{ \bold{ x + 53 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -53 }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-49)(x+53) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 49, - 53 }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b = 4 y c = -2597 }$

$\large\textsf{Para resolver para x }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{ 4^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -2597) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{16- 4\ . \ -2597 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{16+ 10388 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{10404 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm \sqrt{102^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -4 \pm102 }{2 } }}$

$\textsf{Simplificamos }$

$\boxed{ \bold{x =2 \pm51 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 49 , - 53 }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 49 \ m }}$

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos. Se han desarrollado los dos para que ustedes empleen cualquiera de ellos, o con el que se sientan más familiarizados :)

Luego

$\large\textsf{Ancho = x }$

$\large\textsf{Ancho = 49 metros }$

$\large\textsf{Largo = (2x + 8) }$

$\large\textsf{Largo = (2 . 49 + 8 ) = 98 + 8 = 106 metros }$

Sabiendo que el área del terreno rectangular es de 5194 metros cuadrados

Luego el largo del terreno es de 106 metros y el ancho de 49 metros

Verificación

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\boxed{\bold { 5194 \ m^{2} = 106 \ m \ . \ 49 \ m }}$

$\boxed{\bold { 5194 \ m^{2} = 5194 \ m^{2} }}$

Se cumple la igualdad