Question

Un niño sostiene un cometa con un hilo cuya longitud es de 28 metros mientras lo observa con un ángulo de elevación de 36°. Determina la altura del niño, si sabemos que la altura a la que el cometa está volando con respecto al suelo es de 17.8 m. Supongamos que el hilo que sostiene al cometa se mantiene recto.

Answer 1

La altura del niño es de aproximadamente 1,34 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución:

Se resolverá el problema de este modo

Dado que observando el cometa que sostiene con un hilo se encuentra un niño y éste está ubicado sobre la línea del suelo

La visual del niño se encuentra a x metros por encima del plano del piso o de suelo.

Y es esa distancia x la altura del niño y es nuestra incógnita.

Por tanto, el ángulo de elevación dado por enunciado está por encima del nivel del suelo

Luego se ha trazado una línea paralela al suelo que está a la altura de la  cabeza del niño,

Luego conocemos por enunciado la altura a la que se encuentra volando el cometa a la que llamaremos h

Sabemos que la altura a la que se encuentra volando el cometa forma una línea perpendicular medida desde el plano del suelo.

Donde debemos dividir a esa altura h en dos partes: la distancia y, que será una preincógnita y la distancia x la cual coincide con la altura del niño

Hallando la distancia y, podemos restar de la altura total a la que se encuentra el cometa esa magnitud y podremos determinar la distancia x que coincide con la altura del niño

Representamos la situación en un imaginario triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a una porción de la altura a la que se encuentra volando la cometa y llamamos a a esa distancia "y" la cual es es nuestra preincógnita, el lado BC que representa el plano del suelo y el lado AC que representa la longitud del hilo del cometa y es también la proyección visual desde el niño hasta el cometa al cual observa con un ángulo de elevación de 36°

Por fuera del imaginario triángulo rectángulo se encuentra el niño y la distancia x de la cometa la cual es igual a la estatura del niño.

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la longitud del hilo del cometa y de un ángulo de elevación de 36°

• Longitud del hilo del cometa = 28 metros

• Ángulo de elevación = 36°

• Debemos hallar la distancia "y"

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AB) y la hipotenusa (lado AC)

Como sabemos el valor de la hipotenusa (lado AC = longitud  del hilo del cometa), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 36° y debemos hallar la distancia "y" que es la preincógnita relacionamos los datos que tenemos con el seno del ángulo α

Hallamos la distancia y (AB)

Planteamos

$\boxed { \bold { sen (36)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed { \bold { sen (36)^o = \frac{distancia \ y }{ longitud \ hilo \ cometa } = \frac{AB}{AC} }}$

$\boxed { \bold {distancia \ y \ (AB) = longitud \ hilo \ cometa\ . \ sen (36)^o }}$

$\boxed { \bold {distancia \ y \ (AB) = 28 \ metros\ . \ sen (36)^o }}$

$\boxed { \bold {distancia \ y \ (AB) = 28 \ metros\ . \ 0,5877852522924 }}$

$\boxed { \bold {distancia \ y \ (AB) = 16,45798 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {distancia \ y \ (AB) = 16,46 \ metros }}$

Hallamos la distancia x (CD) - Altura del niño

$\boxed { \bold { altura \ del \ cometa \ (AD)= distancia \ y \ (AB) + distancia \ x \ (CD) }}$

$\boxed { \bold { distancia \ x \ (CD)= altura \ del \ cometa \ (AD)- distancia \ y \ (AB) }}$

$\boxed { \bold { distancia \ x \ (CD)= 17,80\ metros - 16,46 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { distancia \ x \ (CD)= 1,34\ metros }}$

La altura de niño es de aproximadamente 1,34 metros